بخشی از مقاله
چکیده
در این پژوهش، رفتار ارتعاشی غیرخطی یک روتور تحت تاثیر نیروهای غیرخطی ناشی از عملکردِ یاتاقان مغناطیسی و نابالانسی مورد مطالعه قرار گرفته است. روتور به صورت صلب و متکی بر دو یاتاقان مغناطیسی با ساختاری هشت قطبی مدلسازی شده است. معادلات دینامیکی حاکم بر رفتار ارتعاشی سیستم به صورت دو معادله دیفرانسیل عادی، غیرخطی، مرتبه دوم و وابسته به هم استنتاج شده اند و به منظور حل آنها، روش اختلال هموتوپی بکار برده شده است. با اعمال روش اختلال هموتوپی در حل معادلات مزبور امکان ارائه حل هارمونیک به صورت تحلیلی تقریبی فراهم گردیده است. با مورد ملاحظه قرار دادن تعدادی شرط اولیه برای جابجایی و سرعت در دو راستای افقی و عمودی تحلیل ارتعاشات آزاد به انجام رسیده است. سپس به بررسی ارتعاشات اجباری تحت تأثیر نیروی هارمونیک پرداخته شده است. همچنین اثر پارامترهای مختلف بر رفتار ارتعاشی روتور مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است. تغییرات دامنه بر حسب فرکانس تحریک که در واقع سرعت دوران روتور است، بررسی شده و نتایج نشان میدهند که با افزایش فرکانس تحریک، دامنه حرکت با نزدیک شدن به سرعت بحرانی افزایش و با عبور از آن رو به کاهش می گذارد و کارآیی سیستم یاتاقان مغناطیسی را در نگهداری پایدار روتور نشان می دهد. در مورد اثر سایر عوامل دخیل بر رفتار ارتعاشی تجزیه و تحلیل لازم صورت گرفته و مقایسهی نتایج که تا توان دوم پارامتر جایدهی از دقت برخوردارند، با سایر مراجع موید دقت شیوه بکار برده شده در این تحقیق است.
مقدمه
بررسی رفتار دینامیکی محورهای چرخان به عنوان جزء اساسی ماشینهای دوار، شاخهای مهم از سیستمهای دینامیکی را شکل میدهد که سابقه تحقیقات طولانی در این خصوص اهمیت آن را آشکارتر میسازد. بخشی از ساختار مکانیکی یک ماشین دوار که با مومنتوم زاویهای معینی دوران میکند را به اصطلاح روتور یا روتور میگویند.به عبارت دیگر، در ماشینهای دوّار روتور جسمی است معلق روی یایاتاقان که امکان دوران و چرخش آزادانه در فضا را پیدا میکند. استفاده از یاتاقان یکی از ملزومات انواع ماشینهای دوار میباشد و یاتاقانها معمولأ به عنوان نگه دارنده برای روتور و اجزای دوار مورد استفاده قرار میگیرند. در حدود سه دهه قبل با پیدایش یاتاقانهای مغناطیسی تحول بزرگی در ماشین آلات دوار به وجود آمد. تفاوت اصلی یاتاقانهای معمولی با یاتاقانهای مغناطیسی در این است که در یاتاقانهای مغناطیسی روتور با یک میدان مغناطیسی حمل و نگهداری میشود و میتواند روی مسیرهای دلخواهی آزادانه حرکت کند .[1] مزیت مهم این یاتاقانها نسبت به یاتاقانهای معمولی، عملیات بدون تماس آنهاست که اصطکاک را بطور زیاد کاهش میدهد و در نتیجه باعث افزایش بازده مکانیکی میشود. عدم نیاز آنها به روغنکاری باعث شده که برای بسیاری از مکانها مانند تجهیزات پزشکی که به محیطهای بدون روغن نیاز دارند مورد استفاده قرار گیرند .[2]
البته کاربرد یاتاقانهای مغناطیسی با محدودیتهایی هم همراه است که رفع برخی از آنها با پیشرفتهای فناوری در سالهای اخیر امکانپذیر شده است. در هر حال مشابه سایر انواع یاتاقان، حرکات ارتعاشی ناخواسته روتور تحت تاثیر نیروهای عکسالعملی یاتاقان نیز قرار میگیرند. در سالهای اخیر تحقیقات بسیاری روی اثرات نیرو-های غیرخطی یاتاقانهای مغناطیسی روی پاسخ روتور انجام شده است که از میان آنها عنایت حسین[1] 1 ، پاسخ یک روتور انعطاف پذیر را به صورت عددی مورد بررسی قرار داده است. وی رفتار ارتعاشی غیرخطی روتور به دلیل نیروی مغناطیسی یاتاقان را بررسی کرده است و اثر نابالانسی روتور را با پارامتر W روی پاسخ روتور نشان داده است. جی سی جی2 و همکاران [3]، پاسخ ارتعاشی غیرخطی یک روتور صلب را با روش مقیاس چندگانه مطالعه کردهاند. اثرات نیرو-های غیرخطی تولیدی در الکترومغناطیس محرکها را روی پاسخ روتور بررسی شده است. پاسخ حالت پایدار و پایداری حلها به صورل عددی از کاهش مرتبه سیستم بدست آمده است. عنایت حسین [4]، پاسخ یک روتور انعطاف پذیر تحت نیروهای غیرخطی تولیدی در الکترومغناطیس محرکها را به صورت عددی مورد بررسی قرار دادهاست. در این تحقیق پدیده انشعاب3 روی پاسخ روتور مورد بررسی قرار گرفته است و رفتار ارتعاشی روتور ثبت شده است.
نوبرت4 و همکاران [5]، اثرات نیروهای غیرخطی تولیدی در الکترومغناطیس محرکها را با انتگرالگیری عددی برای یک روتور صلب بررسی کردهاند. در این تحقیق از حل عددی برای بررسی پاسخهای پریودیک پایدار و غیرپایدار استفاده شده است. جی سی جی و همکاران [6]، اثر نیروهای غیرخطی تولیدی در الکترومغناطیس محرکها را روی پاسخ ارتعاشی غیرخطی یک روتور برای تشدید سوپرهارمونیک را مورد مطالعه قرار دادهاند. در این تحقیق از روش اختلال5 برای تحلیل مساله استفاده شده است. جی سی جی و همکارانش [7]، پدیده انشعاب روی یک تیر دو درجه آزادی تحت اثر نیروی تولیدی در الکترومغناطیس محرکها را بررسی نمودهاند. در این تحقیق اثرات بهره فیدبک کنترلی مورد تحلیل قرار گرفته است. عیسی6 و همکاران [8]، پاسخ غیر خطی یک روتور صلب تحت تاثیر نیروهای غیرخطی یاتاقانهای مغناطیسی را بررسی کردهاند. در این تحقیق از روش اختلال برای تحلیل مسئله استفاده شده است و همچنین پاسخ حالت پایدار و پایداری جوابها برای پارامترهای مختلف بررسی شده است. نشان داده شده که پارامترهای مختلف اثرات متفاوتی روی رفتار روتور دارند. عنایت حسین [9]، پاسخ یک روتور صلب با یاتاقانهای مغناطیسی را به صورت عددی تحلیل کرده است. مدل ریاضی روتور در این تحقیق با نیروی تولیدی در الکترومغناطیس محرکها تحریک شده است. مشاهده شده است که برای پارامترهای مختلف، ارتعاشات روتور، پریودیک، شبه پریودیک و آشفته است. جی سی جی و همکاران [10]، روی اثرات نیرو های غیرخطی یاتاقانهای مغناطیسی و اثرات آنها بر رفتار ارتعاشی غیرخطی یک روتور متمرکز شدهاند. در این تحقیق پایداری حالت پایدار به وسیله محاسبه مقادیر ویژه بررسی شده است. ژانگ 7 و همکاران [11] ، از روش اختلال برای بررسی نوسانات غیرخطی و رفتار یک روتور با یاتاقان مغناطیسی و سختی متغیر با زمان استفاده کردهاند. سختی در این سیستم به صورت پریودیک در نظرگرفته شده است. همچنین رفتار ارتعاشی روتور در دو جهت عمودی و افقی را بررسی شده است. در این پژوهش از روش اختلال هموتوپی8 برای بررسی رفتار ارتعاشی غیرخطی روتور با یاتاقانهای مغناطیسی استفاده شده است.
شرح مساله:
شکل - 1 - یک روتور صلب دو درجه آزادی به جرم m ، سطح مقطع A و خارج از مرکزیت e را نشان میدهد. محور به کمک دو یاتاقان مغناطیسی هشت قطبی - - A,B با نفوذپذیری مغناطیسی و دور سیم پیچ N نگهداری میشود. نیروهای غیرخطی یاتاقان مغناطیسی که در شکل - 2 - نشان داده شدهاند بصورت معادله - 10 - بیان میشوند که در آن 0 نفوذپذیری مغناطیسی، Aa سطح مقطع کفشکها، N تعداد دور سیم پیچ، I i جریان سیم پیچها، i لقی شعاعی بین روتور و یاتاقان میباشد. زاویه نیز در شکل - 2 - نشان داده شده است همانطور که دیده میشود نیرو با جریان سیم پیچها و فاصله بین روتور و یاتاقان به صورت غیرخطی تغییر میکند.
شکل :2 نیروی الکترومغناطیس اعمالی از طرف یاتاقان مغناطیسی بر روتور [3]
وقتی که روتور از مرکز یاتاقان منحرف میشود لقی شعاعی بین روتور و یاتاقان به شکل معادله - 11 - بیان میشود که در آن زاویهای است که در شکل - 2 - نشان داده شده است
1,5 i y cos x sin C0 i
4,8 - 11 - i y cos x sin C0 i
2,6 i y sin x cos C0 i
3,7 i y sin x cos C0 i
برای کنترل سیستم از روشهای مختلفی استفاده میشود. در اینجا از کنترلکننده تناسبی مشتقگیر استفاده میشود که بصورت معادلات - 12 - بیان میشوند و در آن x و y سرعت در جهات x ،
y و k p و k d به ترتیب بهره نسبی و بهره مشتقی میباشند. جریان سیم پیچها که با مجموع جریان بایاس الکترومغناطیس و جریان کنترل برابر است با معادله - 13 - بیان میشود که در آن I 0 جریان پیش مغناطیس میباشد. از جریان پیش مغناطیس برای کاهش غیرخطی بودن نیروی مغناطیسی و همچنین جریانهای ایجاد شده به دلیل تغییرات نیرو در نزدیکی موقعیت صفر، استفاده میشود. همانطور که دیده میشود معادلات - 16 - ، معادلات وابسته به هم میباشند که در آن ترمهای غیرخطی زیادی دیده میشود که اثرات زیادی روی پاسخ سیستم میگذارند. این امر اهمیت توجه زیاد به آنها را آشکارتر میسازد. در معادلات - 16 - پارامترهای b، ، و ثوابت غیرخطی به صورت معادلات - 17 - خواهند بود.
ور بررسی میشود. فرض میشود روتور یک جسم صلب باشد که در سیستم یاتاقان مغناطیسی معلق است. معادلات حرکت حاکم برای روتور نابالانس بصورت معادلات - 15 - بیان میشوند روتور، ضریب میرایی، خارج از مرکزیت روتور، سرعت روتور و برآیند نیروی الکترومغناطیس همه مغناطیسها در جهت x و y میباشند. در معادلات - 15 - از نیروی وزن روتور صرف نظر شده است. با جایگذاری معادلات - 13 - ، - 12 - و - 11 - در معادله - 10 - ، نیرو به صورت تابعی غیرخطی از جریان کنترل و فاصله بین روتور و یاتاقان در جهات x و y بدست میآید. برای دامنههای ارتعاشی کوچک، نیروی f i را با استفاده ازسری تیلور بسط داده میشود و سپس ترمهای غیرخطی مرتبه بالا را حذف میشوند. با جایگذاری نیروی الکترومغناطیس در معادلات - 15 - و ساده سازی روابط، معادلات - 16 - نتیجه میشوند. اکنون سیستم معادلات وابسته - 16 - به روش اختلال هموتوپی حل میشوند. در حل به روش اختلال هموتوپی، ابتدا ترمهای خطی و غیرخطی را از هم جدا کرده سپس پارامتر جایدهی در معادله وارد شده و هموتوپی به شکل معادلات - 19 - و - 20 - تشکیل میشود.
