مقاله جایگاه "اصول موضوعه" در ریاضیات دبیرستانی

بخشی از مقاله

چکیده
هدف این مطالعه که به روش توصیفی از نوع زمینهیابی انجام گرفته است، بررسی جایگاه اصول-موضوعه در ریاضیات دبیرستانی بر اساس مدل دیویلییرز - 1986 - میباشد. در این مطالعه، 62 نفر از معلمان ریاضی شرکتکننده در سیزدهمین کنفرانس آموزش ریاضی ایران در سال تحصیلی 92-93، به طور تصادفی انتخاب شدند. ابزار اندازه-گیری برای بررسی درک و فهم معلمان ریاضی از اصولموضوعه، براساس پرسشنامه محققساخته طراحی شده است. به منظور تجزیه و تحلیل اطلاعات بهدست آمده از پرسشنامه، روش آمار توصیفی مورد استفاده قرار گرفت. روایی صوری و محتوایی پرسشنامه نیز توسط تعدادی از اساتید ریاضی و آموزش ریاضی دانشگاه تربیتدبیر شهیدرجایی تایید شد و ضریب آلفای کرونباخ پرسشنامه، 0/71 بهدست آمد که این مقدار، وضعیت مناسبی را در مورد پایایی آن نشان می-دهد.

یافتههای تحقیق بیانگر آن است که اغلب معلمان ریاضی، درک و فهم درستی از اصول-موضوعه دارند؛ اما درک آنها به صورت غیرعلمی و ناقص است. همچنین، درک اکثر معلمان ریاضی از عدم یکتایی اصولموضوعه نادرست است. بر اساس عملکرد معلمان در پرسشنامه میتوان گفت که اغلب آنها در کاربرد اصولموضوعه در ریاضیات دبیرستانی مشکلاتی دارند. لذا، در راستای نتایج بهدست آمده و تعاریف بهدست آمده در مدل دی-ویلییرز، پیشنهاد میشود که هنگام تدریس یک مفهوم ریاضی، استنباط بعضی از گزارهها مشکل است و یا از سطح درک و فهم دانشآموز خارج است، بنابراین میتوان اینگونه گزارهها را به عنوان "اصولآموزشی" مبنای استدلال قرار داد و با همکاری خود دانشآموز، قضایای دیگر مربوط به موضوع موردنظر را استنتاج کرد.

واژه های کلیدی
اصولموضوعه، درک و فهم، معلمان، آموزش ریاضی

مقدمه
یکی از وظایف اصلی نظام تعلیم و تربیت، پرورش افرادی است که در جامعه عملکرد مفیدی داشته باشند و دانشآموزان، دانشی را کسب نمایند که به واسطهی آن برای تصمیمگیری در مسائل زندگی و شرکت در بحثهای منطقی آماده شوند .[1] در واقع کوهن معتقد است، باید محیطی فراهم گردد تا دانشآموزان، مهارتهای استدلال، برقراری ارتباط بین مفاهیم و تفکر خود را توسعه داده و این فعالیت-ها را با ارزش بدانند و به رفاه فردی و اجتماعی برسند. به قول بارودی، فهم اینکه "فراگیران چگونه ریاضی را یاد میگیرند"، می-تواند به ما معلمان ریاضی به شیوه های گوناگون یاری دهد .[2]

در واقع این فهم درست و واقعگرایانه ما را قادر میسازد تا با داشتن تصویری شفاف از چگونگی بروز رفتار ریاضی افراد، تصمیم سازی مناسب علمی در اندیشهسازی و انتخاب عنوانهای درسی، تقدم و تاخر مطالب و اتخاذ شیوههای آموزشی را داشته باشیم و در رفع مانعهای یادگیری دانشآموزان بکوشیم. لذا، نقش معلمان و فراگیران در اصلاح و پیشرفت محیط آموزشی غیر قابل انکار است. معلمی که نسبت به هماهنگی ریاضیات نابینا است، نمیتواند به دانشآموزان کمک کند تا آن را ببیند .[3] زمانی از یک معلم میتوان انتظار داشت که مطالب را به صورت مفهومی به دانشآموزان ارائه دهد که خود معلم آموزش لازم برای ارائه مطالب را دریافت کرده و برای وجود مباحث آموزشی توجیه شده باشد.

تفکر ریاضیوار بیشتر از آنکه به معنی تبدیل هر چیزی به نمادها و معادلات باشد، نیازمند بیان کلامی دقیق و ساختار منسجم و نظاممند است. لذا رسمیت ریاضیات معمولا با نحوهی ارائهی آن در قالب "تعریف، قضیه و اصولموضوعه" مرتبط میباشد. از اینرو مرحلهی اول در یادگیری ارتباطات رسمی در ریاضی، یادگیری تعاریف، قضایا و اصولموضوعه است .[4] اصولموضوعه، یک مولفهی اساسی از دانش ریاضی و یادگیری تفکر اصلموضوعی، مسالهی اساسی آموزش ریاضی است. از لحاظ تاریخی، اولین جایی که به مفاهیم اصولموضوعه و تعریف نشدهها در ریاضیات برخورد میکنیم، در کار اقلیدس است که سعی داشت مجموعه دانش هندسه را انسجامی منطقی ببخشد و جایگاه منطقی گزارههای هندسی رامشخص سازد.

مهمترین ویژگی تفکر اصلموضوعی همان شیوه تفکر اقلیدس نسبت به هندسه، یعنی منظمسازی منطقی مجموعهای از اطلاعات به کمک استنتاج منطقی، است .[5] یکی از مباحثی که در تحقیقات مرتبط با آموزش ریاضی کمتر مورد بررسی قرار گرفته است، توانایی آموزشگران در زمینهی نظام اصلموضوعی و عواملی که بر این توانایی اثر میگذارند، میباشد. همچنین بررسی مهارتها وتوانایی دانشآموزان در زمینهی تفکر اصلموضوعی و استنتاج منطقی، کار سادهای نیست؛ زیرا بهطور کلی این فرایند، تحت تاثیر رویکردهای آموزشی، فرهنگی، اجتماعی و تاریخی است و به طور خاص، فرایندی است که شامل مجموعهای از دانش، باورها، شایستگی و توانایی دانشآموزان در استدلال منطقی و تشخیص فرضیهها و ساختار منطقی میباشد .[6]

با توجه به اهمیت تفکر اصلموضوعی و مفاهیم و مهارتهای مرتبط با آنها در فرایند آموزش ریاضی، نقش اساسی معلم در این زمینه و کم بودن تحقیقات آموزش ریاضی در این راستا، هدف اصلی این مطالعه، بررسی جایگاه اصولموضوعه در آموزش ریاضی است. امیدواریم با توجه برنامهریزان درسی به پژوهشهایی از این قبیل، راهحلهایی اندیشیده و همچنین تغییراتی در برنامههای آموزش معلمان ایجاد شود و گامی در جهت رسیدن به افقهای بلند آموزش ریاضی برداشته شود.

اصولموضوعه و تفکر اصلموضوعی
اگر از میان کلیه اطلاعات موجود در یک علم - مثلا هندسه - ، گزاره-هایی را انتخاب کرد که بهکمک استنتاج منطقی بتوان از آنها کلیه گزارههای آن علم را استخراج کرد، این گزارههای انتخاب شده را اصولموضوعه آن علم مینامند .[7] مهمترین ویژگی تفکر اصلموضوعی همان شیوه تفکر اقلیدس نسبت به هندسه است. قبل از اقلیدس، هندسه مجموعهای از اطلاعات و اخبار در مورد مفاهیم هندسی مانند نقطه، خط، مثلث و... بود. این مجموعه از اطلاعات همانند مخزنی از گزارهها بود که کسی به نظم منطقی بین آنها توجه نمیکرد. نظم منطقی بین این اطلاعات، از طریق استنتاج منطقی برقرار میگشت و اقلیدس کسی بود که این نظم منطقی را آشکار کرد. او با ارائه روش خود در بیان علم هندسه، اولین بار روش اصلموضوعی را در ارائه یک علم به کار برد. با این نگاه به این مثال تاریخی، میتوان چگونگی تفکر اصل-موضوعی و روش اصلموضوعی را شناخت.

تفکر اصل موضوعی یعنی، منظمسازی منطقی مجموعهای از اطلاعات به کمک استنتاج منطقی . در این عمل منظمسازی، همواره به تعدادی مفهوم بنیادین - مثلا در هندسه نقطه، خط، صفحه، بینیت و ... - و گزارههای اساسی برخورد میکنیم که آنها را به ترتیب به عنوان مفاهیم اولیه و اصولموضوعه انتخاب میکنیم. البته این مفاهیم و گزارهها باید به گونهای انتخاب شوند که سایر مفاهیم موجود در آن علم به وسیلهی آنها قابل تعریف باشند و از طرفی دیگر گزارههایی که مبنای استدلال قرار میگیرند باید به گونهای انتخاب شوند که سایر اطلاعات آن علم از روی آنها قابل استنتاج منطقی باشد، این اعمال را اصلموضوعیسازی آن علم مینامند .[ 7]

مهمترین ویژگی تفکر اصلموضوعی، انسجام منطقی بخشیدن به گزارههای یک شاخهی علمی است. با این عمل تکلیف ساختار منطقی آن علم و حوزه مسئولیت و کاربرد ریاضی در آن علم مشخص میشود. پس از انتخاب مفاهیم اولیه و اصولموضوعه وارد حیطه ریاضیات میشویم و از این به بعد مسئولیت تولید اطلاعات و مفاهیم جدید بر عهده ریاضیدانان است. اما معناداری مفاهیم اولیه - نقطه، خط و... - و درستی اصولموضوعه بر عهده ریاضیدانان نیست و مسئولیت آنها بر عهده کسانی است که میخواهند آن علم را در جای خاصی - مانند محاسبه پرتاب یک موشک - به کار برند. اهمیت تعلیمی و نکتهی حائز اهمیت در یاددهی- یادگیری ریاضیات مدرسهای به شیوهی نظام اصلموضوعی، آموزش مباحث ریاضی به روش اصلموضوعی نیست بلکه آموزش بر اساس تفکر اصلموضوعی است و باید در فرایند آموزش ریاضیات مدرسهای به این نکته توجه نمود که "اصولموضوعه با تفکر اصلموضوعی، لزوما برابر نیست".

نقطه آغاز یک نظام اصلموضوعی
هر نظام معرفتی گروهی از مفاهیم یا اصطلاحات و نیز مجموعهای از گزارهها را دربر میگیرد که شاکلهی آن را میسازد. همواره ممکن است از معنای آن مفاهیم و نیز از دلیل صحت یک گزاره سوال شود. هنگام پرسش از معنای یک مفهوم یا اصطلاح، معمولا به تعریف آن توسط مفاهیم و یا اصطلاحات دیگر پرداخته میشود. همچنین هنگام پرسش از صحت یک گزاره، با ارائهی استدلال و استنتاج آن گزاره از گزارههای مقبول، موجه بودن آن نشان داده میشود. اگر سلسلهی سوالات دربارهی معانی مفاهیم و همچنین تعیین صحت و سقم گزارهها بهطور نامحدود ادامه یابد، یکی از دو پیامد زیر را خواهد داشت :[8]

-1یا شخص در دایرهای حرکت میکند که طی آن، از مفاهیم و گزارههایی استفاده میکند که در بدو امر، به قصد توضیح و توجیه همانها این مسیر را آغاز کرده است. که اصطلاحا میگوییم شخص دچار دور شده است. یعنی شخص در مراحل کار یا به همان گزارهای که اثبات آن مد نظر بوده و یا به همان مفهومی که برای تعریف مفاهیم دیگر بهکار میبرده، رسیده است.

-2یا در مرحلهای از کار، از تعریف و استدلال خودداری میکند و مدعی میشود که برخی از اصطلاحات و گزارههایی که در پاسخها استفاده شده، اساسی ترین مفاهیم و گزارههاییاند که بهکار رفته است. که اصطلاحا میگوییم فرد دچار تسلسل شده است. یعنی برای اثبات یک گزاره باید دلیل پشت دلیل بیاوریم بیآنکه پایانی داشته باشد و برای تعریف مفاهیم جدید نیز با مشکلی مشابه اثبات گزارهها روبرو میشویم. اینجا نقطهی آغاز یک نظام قیاسی است.

پس تعریف همهی عبارات یک تئوری ریاضی، و نیز اثبات همهی گزارههای آن، غیر ممکن است. نهایتا مجبوریم تعدادی معدود از اشیا را که خودبهخود موجودند و تعریف مشخصی برای آنها وجود ندارد به عنوان عبارتهای تعریف نشده - یا حدود اولیه - بپذیریم. مثلا، مفهوم مجموعه را همه از طریق تجربیات خود درک میکنند و تمام مفاهیم ریاضی از طریق مفهوم مجموعه قابل تعریف است، ولی خود مفهوم مجموعه قابل تعریف نیست و با مفاهیمی مشابه خود مانند دسته، گردایه و ... توضیح داده میشود. بنابراین هر شاخهای از ریاضی دارای تعدادی مفاهیم اولیه است که اصول موضوعه و گزاره-های خود را روی آنها بنا میکند. مثلا، نقطه، خط، صفحه، قرار داشتن نقطه بر خط یا صفحه، بینیت، قابلیت انطباق پارهخطها و زوایا از مفاهیم اولیه هندسه هستند.

اما، تمامی مفاهیم هندسه منحصر به این مفاهیم اولیه نیست. بر اساس مفاهیم اولیه، همواره میتوان مفاهیم جدیدی را تعریف کرد. مثلا، پارهخط، توازی خطها، مثلث، قابلیت انطباق مثلثها، زاویه قائمه، مربع، مستطیل و ... همگی مفاهیمی هستند که تعریف آنها وابسته به مفاهیم اولیه است و از طریق مفاهیم اولیه، مستقیم یا غیرمستقیم، تعریف میشوند. عباراتی را که بدین گونه تعریف می شوند، حدود ثانوی یا حدود تعریف شدهی تئوری نامند.

نظام اصلموضوعی
نظام اصلموضوعی، نظامی معرفتی است که با روش اصلموضوعی بنا نهاده شده است. در این شیوه از بین مفاهیم موجود، گروهی با نام "مفاهیم اولیه" یا "تعریفنشدهها" و از میان گزارههای موجود، مجموعه گزارهای تحت عنوان "اصولموضوعه" انتخاب میشوند. سپس سایر مفاهیم برحسب همان مفاهیم اولیه، تعریف و سایر گزارهها از همان مجموعه اصول، استنتاج میشوند.نکته ی مهم در پایهگذاری یک نظام اصلموضوعی، بعد از تعیین اصولموضوعه و مفاهیم تعریف نشده، دقت در افزودن مفاهیم و گزارههای جدید به دستگاه مورد نظر است. هیچ مفهوم جدیدی نباید وارد دستگاه شود مگر اینکه بر مبنای مفاهیم اولیه و تعریف شدهی قبلی باشد؛ همچنین هیچ گزارهای نباید درون دستگاه قرار گیرد مگر اینکه از طریق استنتاج منطقی از اصولموضوعه و یا گزارههای اثبات شدهی قبلی استنتاج گردد.

تاسیس نظام اصلموضوعی : [9] - تعیین مفاهیم اولیه نظام؛

-تعریف دقیق مفاهیم جدید بر مبنای مفاهیم اولیه و یا تعریف شده

-ی قبلی، همچنین تعریفی دقیق و روشن از کلیه مفاهیم، قبل از استفاده از آنها، ارائه شود؛

-تعیین اصولموضوعهی نظام؛

-استنتاج گزارههای باقیمانده از اصول اولیه و یا گزارههای اثبات شدهی قبلی؛

-مباحث به صورت مجموعهای از گزارهها تنظیم گردد و ساختمان منطقی هر گزاره، روشنترین صورت ممکن را دارا باشد؛
 
-اگر گزارهای نتیجهی یک استدلال است، مقدمات و مراحل آن استدلال مشخص گردد.

ویژگیهای نظام اصلموضوعی

الف - شرط سازگاری اگر در یک دستگاه قیاسی، اصول موضوعه دستگاه با یکدیگر متناقض نباشند، میگوییم آن دستگاه سازگار است. یعنی در تمام دستگاه هیچ دو قضیهای نتیجه نشود که ناارز - نقیض - یکدیگر باشند .[9] به عبارت دیگر اگر P گزارهای در یک نظام باشد، آن نظام در صورتی سازگار است که هم P و هم   به عنوان قضیه در آن اثبات نشود. یک نظام و دستگاه قیاسی وقتی ناسازگار است که اصول موضوعه و قواعد استنتاجی دستگاه به تناقض بینجامد، یعنی دو نتیجهی کاملا متناقض را در بر داشته باشد. شرط سازگاری، با زبان منطق چنین بیان میشود : "ترکیب عطفی اصولموضوعهی نظام غیر ممکن نباشد". اهمیت سازگاری در نظام قیاسی از آن جهت است که اگر یک تناقض در دستگاه وجود داشته باشد ولی تمامی صفات دیگر را داشته باشد، آن دستگاه از اعتبار میافتد.

ب - شرط استقلال اگر در یک نظام قیاسی هیچکدام از مفاهیم اولیه را نتوان بر حسب سایر مفاهیم تعریف نمود و هیچکدام از اصولموضوعه را نتوان از روی اصولموضوعه دیگر استنتاج کرد آنگاه میگوییم یک نظام قیاسی مستقل داریم، یعنی اصول و حدود این نظام قیاسی نسبت به هم مستقل هستند .[10] هنگام مشخص شدن عدم استقلال یک گزاره در بین اصولموضوعه، صرفا عنوان آن را از اصولموضوعه به قضیه باید تغییر داد .[9]

ج - شرط اقتصاد هیچکدام از اصولموضوعهی یک نظام قیاسی نباید زاید باشند. به سخن دیگر، هر یک از اصولموضوعهی یک نظام قیاسی باید مقدمه-ای غیرقابل جایگزین برای اثبات حداقل یک قضیه از قضایای آن نظام باشد. از سوی دیگر از بین مجموعههای مختلف از اصول-موضوعهی یک نظام قیاسی که هر کدام به تنهایی بتواند برای استنتاج کل قضایا بهکار رود، مجموعهای ترجیح دارد که اعضای آن از همه کمتر باشد .[9]

د - شرط تمامیت منظور از تمامیت این است که بتوان هر گزارهای از دستگاه مزبور را که بر اساس مفاهیم و علائم دستگاه ساخته میشود، اثبات یا ابطال نموده و نسبت به آن داوری نمود.[10] به عبارت دیگر اگر P گزاره-ای در یک نظام قیاسی باشد، آن نظام در صورتی تمام است که P یا   به عنوان قضیه در آن نظام قابل اثبات باشد. دستگاههای ناتمام، به شرط سازگاری، مفیدند. برای مثال دستگاه قیاسی هندسهاقلیدسی بدون اصل موضوع پنجم - در باب خطوط متوازی - دستگاهی