مقاله در مورد حل عددی معادلات دیفرانسیل

بخشی از مقاله

حل عددي معادلات ديفرانسيل

فهرست
مقدمه – معرفي معادلات ديفرانسيل 4
بخش اول – حل عددي معادلات ديفرانسيل معمولي 20
فصل اول – معادلات ديفرانسيل معمولي تحت شرط اوليه 20
فصل دوم – معادلات ديفرانسيل معمولي تحت شرايط مرزي 66
فصل سوم – معادلات ديفرانسيل خطي 111

بخش دوم – حل عددي معادلات ديفرانسيل جزئي 125
فصل اول – حل معادلات عددي هذلولوي 128
فصل دوم – حل معادلات عددي سهموي 146
فصل سوم – حل معادلات عددي بيضوي 164
فصل چهارم – منحني هاي مشخصه 184

مقدمه
معرفي معادلات ديفرانسيل

معادله در رياضيات وقتي با اسم خاص و صورت خاص مي آيد خود به تنهايي مسأله اي را نمايش مي دهد كه در آن مي خواهيم مجهولي را بدست آوريم.
كاربرد معادله ديفرانسيل از نظر تاريخي با معرفي مفهوم هاي مشتق و انتگرال آغاز گرديد. ساده ترين نوع معادله ديفرانسيل آن دسته از معادلاتي هستند كه مشتق تابع جواب را داشته باشيم. كه چنين محاسبه اي به پاد مشق گيري و انتگرال گيري نامعين موسوم است.
معادلات ديفرانسيل وابستگي بين توابع و مشتق هاي توابع را نشان مي دهد. كه از لحاظ تاريخي به طور طبيعي از زمان كشف مشتق به وسيله نيوتن ولايب نيتس آغاز مي شود. (قرن هفدهم ميلادي). كه با رشد سريع علم و صنعت در قرن بيستم روشهاي عددي حل معادلات ديفرانسيل مورد توجه قرار گرفتند كه توسعه و پيشرفت كامپيوتر ها در پايان قرن بيستم موجب كاربرد روش هاي تقريبي تعيين جواب معادلات ديفرانسيل در بسياري از زمينه هاي كاربردي گرديد كه باعث بوجود آمدن مباحث جديد در اين زمينه شد.

نمادها و مفاهيم اساسي
اگر تابعي از متغير حقيقي باشد و ضابطه آن و متغير تابع يا مقدار تابع باشد، آنگاه مشتق با يكي از نمادهاي نمايش داده مي شود. همچنين مشتق دوم، سوم،... و ام آن نيز به ترتيب با نمادهاي

نمايش داده مي شوند. اگر تابعي از دو متغير حقيقي باشد آنگاه مشتق هاي جزئي با نمادهاي نمايش داده مي شوند. همچنين اگر آنگاه مشتق هاي جزئي با نمادهاي و يا
نمايش داده مي شوند.
همچنين داريم:

كه اين توابع مشتقات جزئي مرتبه دوم و مراتب بالاتر است.
همچنين براي توابع متغير حقيقي داريم:

كه فرض مي كنيم همه مشتقات جزئي تا مرتبه مورد نظر پيوسته باشند.
حال براي تابع از متغير حقيقي با مقدار حقيقي را ديفرانسيل تابع گويند. اگر تابع از متغير حقيقي باشد.

را ديفرانسيل كامل تابع گويند. كه در حالت خاص اگر از دو متغير حقيقي با مقدار حقيقي باشد داريم:

معادلات ديفرانسيل معمولي و با مشتقات جزئي
يك معادله ديفرانسيل هر كدام از توابع ضمني از متغير يا متغيرهاي مستقل، متغير يا متغيرهاي تابع و مشتق هاي متغير يا متغير هاي تابع نسبت به متغير يا متغيرهاي مستقل مي تواند باشد كه حتماً بايد لا اقل يك مشتق ساده يا جزئي در آن حضور داشته باشد.
معادله ديفرانسيل يك نوع از معادلات ديفرانسيل است كه فقط يك متغير مستقل در آن وجود دارد. و متغير تابع و
مشتقات مرتبه اول تا ام نسبت به است. متغير مي توانند در معادلات ديفرانسيل نباشند ولي حضور لااقل يك مشتق الزامي است. معادله ديفرانسيل
يك نوع معادله است كه شامل متغير مستقل است و فقط يك متغير تابع دارد كه در آن تابعي از ها است.
براي دسته بندي معادلات ديفرانسيل مي گوييم هرگاه همه مشتق هاي ظاهر شده در معادله مشتق ساده باشند آنگاه معادله را معادله ديفرانسيل معمولي (يا ساده يا عادي) مي ناميم. اما اگر در عبارت معادله لااقل يك مشتق جزئي ظاهر شود آن را يك معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي يا معادله ديفرانسيل نسبي مي ناميم.
معادلات ديفرانسيل زير از جمله معادلات ديفرانسيل مهم هستند:
(معادله خطي غير همگن)؛
(معادله بزنولي)
(معادله ريكاتي)
(معادله لا پلاس)
(معادله كلرو) غير خطي؛
(معادله لاگرانژ) غير خطي؛
(معادله يك بعدي حرارتي) ثابت؛

(معادله اولر) ثابت؛
(معادله لژ اندر) ثابت؛
(معادله بسل) ثابت نا منفي؛
(معادله پواسن)
(معادله يك بعدي موج) ثابت؛
(معادله ترافيك)
(معادله لاگرانژ)

(معادله پفافي)
(معادله ارتعاش تير) ثابت
از معادلات ديفرانسيل فوق معادلات (3)(4)(5)(7)(8)(10)(11)(12) معادلات ديفرانسيل معمولي و بقيه معادلات ديفرانسيل نسبي مي باشند.
اگر بخواهيم يك معادله را به صورت ديفرانسيلي بنويسيم مي توانيم به جاي عبارت را جايگزين كنيم. مثلاً براي معادله به صورت
است.
يك روش ديگر براي دسته بندي معادلات ديفرانسيل استفاده از مرتبة آنها است كه مرتبة يك معادله ديفرانسيل عبارت است از بزرگترين مرتبه مشتق يا مشتقات ظاهر شده در عبارت معادله ديفرانسيل. با توجه به معادلات فوق مي بينيم كه معادلات (3) و(4)و(5)و(7)و(8)و(15)و(16)و(17) معادلات مرتبه اول و معادلات (6)و(9)و(10)و(11) و(12)و(13)و(14) معادلات مرتبه دوم و معادله ديفرانسيل (18) يك معادله مرتبه چهارم است.
وقتي معادلات ديفرانسيل هر كدام داراي بيش از يك متغير تابع باشند در اين صورت معادلات به تنهايي ظاهر نمي شوند و مجموعه اي از آنها مورد استفاده قرار مي گيرد كه اغلب تعدادشان با تعداد متغيرهاي تابع برابر است. اين گونه معادلات را دستگاه معادلات ديفرانسيل مي ناميم.
يك روش ديگر براي دسته بندي معادلات ديفرانسيل استفاده از مفهوم خطي بودن يا غير خطي بودن معادلات ديفرانسيل است.
يك معادله ديفرانسيل معمولي يا با مشتقات جزئي داده شده را يك معادله ديفرانسيل خطي در مجموعه متغيرهاي تابعي اش گوئيم هر گاه:
1) متغير يا متغيرهاي تابع از توان يك باشند.

2) متغير تابع يا متغيرهاي تابع و مشتقات، ضريب متغيرهاي تابعي و مشتقات آنها نباشند.
3) خود متغير تابعي غير خطي نباشد.
در غير اين صورت اگر هر كدام از شرطهاي بالا نقص شود معادله ديفرانسيل غير خطي است از معادلات مهم كه ارائه كرديم معادلات (3)و(6)و(9)و(10) و(11) و(12) و(13) و (14) و (18) خطي هستند و معادله (4) (به دليل حضور ) و (5) (به دليل حضور )، (7) (به دليل غير خطي بودن ) و (8) (براي لا اقل غير خطي بودن )
غير خطي هستند. معادلات (16) و (17) مي توانند خطي يا غير خطي با

شند.
همچنين مي توان خطي بودن را نسبت به يك عامل از معادله ديفرانسيل، مانند متغير تابع يا متغيرهاي تابع، يا مشتق از مرتبه مشخصي تعيين نمود. اين گونه معادلات نيمه خطي يا شبه خطي ناميده مي شوند. مثلاً معادله
كه يك معادله غير خطي نسبت به متغير تابع به دليل حضور و همچنين به علت حضور است را مي توان يك معادله خطي نسبت به مشتقات جزئي ناميد. يك معادله ديفرانسيل مرتبه اول خطي معمولي به صورت كلي

و معادله مرتبه دوم خطي معمولي نيز به صورت كلي

نمايش داده مي شوند. صورت كلي معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي مرتبه ام خطي طولاني و پيچيده است. كه در اينجا معادلات مرتبه اول و دوم خطي از آنها را نمايش مي دهيم. ولي مي توان با كمك از معادلات ديفرانسيل مراتب اول و دوم معادلات مراتب بالاتر را نيز نوشت.
معادله زير يك صورت عمومي از معادلات با مشتقات جزئي مرتبه اول خطي از متغير مستقل با يك متغير تابع است.

كه در آن توابع ضريب و تابع طرف دوم است كه اگر ، صفر باشد معادله همگن خطي و در غير اين صورت معادله غير همگن خطي ناميده مي شود. معادلات با مشتقات جزئي مرتبه دوم به صورت كلي زير است:

كه در آن

توابع متغير حقيقي معلوم هستند كه به آنها توابع ضريب معادله خطي گويند. تابع متغيير حقيقي معلوم تابع طرف دوم ناميده مي شود.
جواب يك معادله ديفرانسيل
يك تابع يا مجموعه اي از توابع (مانند يك تايي مرتب از توابع) را جواب يك معادله ديفرانسيل گوييم هرگاه با قرار دادن تابع يا توابع در عبارت معادله به جاي متغير يا متغيرهاي تابع و مشتقات آنها معادله به يك اتحاد بر حسب متغير يا متغيرهاي نابسته تبديل شود. كه در صورت گذاشتن مقدار در آنها اين اتحاد برقرار باشد.
جواب يك معادله ديفرانسيل معمولي تابعي از متغير حقيقي با مقدار حقيقي يا با مقدار برداري است كه اگر متغير مختلط باشد مقدار نيز مختلط خواهد بود. جواب يك معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي تابعي از دو يا به طور كلي متغير است كه مقدار آن حقيقي يا برداري است.
به عنوان مثال تابع جوابي از معادله ديفرانسيل معمولي زير است:

همچنين جوابي از معادله ديفرانسيل نسبي زير است:

يك معادله ديفرانسيل مي تواند داراي جوابهاي گوناگوني باشد. كه جوابي را كه براي يك معادله ديفرانسيل معمولي در تعدادي شرايط در يك نقطه يا مجموعه اي از نقاط از دامنه تابع جواب صدق مي كند و به صورت يگانه اي بدست مي آيد جواب ويژه يا خصوصي معادله ديفرانسيل است . البته ممكن است دو يا چند جواب در شرايط صدق كنند ولي يكي از آنها جواب خصوصي است .
براي يك معادله ديفرانسيل معمولي مرتبه n ام از يك متغير تابع ، تابعي را كه با n ثابت دلخواه نا بسته از يكديگر بر حسب متغير مستقل و متغير تابع بيان و همه جوابهاي خصوص

ي معادله با انتخاب هر مقدار مشخصي براي ثابتها از آن بدست مي آيند جواب عمومي معادله گويند .
براي يك معادله ديفرانسيل معمومي مرتبه n ام ، جواب عمومي به صورت كلي زير است :

اگر تابع ثابت صفر جوابي از يك معادله ديفرانسيل معمولي يا با مشتقات جزئي باشد آن را جواب بديهي معادله مي ناميم. مثلاً معادله داراي جواب بديهي و معادله داراي جواب بديهي است.
براي تعيين جواب معادلات ديفرانسيل معمولاً روشهايي را بكار مي بريم كه ممكن است حل يك معادله ديفرانسيل عبارت معادله را با اعمال جبري مجاز تغيير دهيم كه با انجام اين اعمال ممكن است جوابي از معادله را ناديده انگاشته باشيم كه اين جواب را جواب حذف شده معادله مي نامند.
خانواده جواب هاي خصوصي در مورد برخي از معادلات مانند معادلات كلرو نيز معمولاً جواب معادله مي باشند. كه چنين جواب هايي را جواب تكين يا جواب غير عادي معادله ديفرانسيل مي نامند. مثلاً براي معادله
تابع جواب عمومي آن و تابع جواب غير عادي آن است.
براي يك معادله ديفرانسيل جوابي از آن كه همه جواب هاي معادله را در بر گيرد جواب كامل يا انتگرال كامل معادله مي خوانند. كه اين مفهوم براي معادلات ديفرانسيل خطي غير همگن به كار برده مي شود.
البته هدف ما در اين مجموعه حل عددي معادلات ديفرانسيل است و تنها روش هاي عددي حل معادلات را مورد بررسي قرار مي دهيم.
تفسير هندسي جواب خصوصي و عمومي
مي دانيم اگر تابع دو متغيره پيوسته اي روي ناحيه اي از صفحه باشد آنگاه معادله ضمني
يا داراي هيچ جوابي نيست مانند . يا يك جواب دارد مثل يا نمايش يك منحني در صفحه است . جواب عمومي معادلات ديفرانسيل معمولي به شكل زير هستند :

كه اين معادله نمايش يك منحني در صفحه است. كه اين موضوع براي جوابهاي عمومي به صورت
نيز قابل بيان است. اين منحني ها به پارامترهاي ثابت دلخواه وابسته هستند و خانواده يك پارامتري از منحني ها را در صفحه نمايش مي دهند. به هر يك از اعضاي اين خانواده منحني يك منحني انتگرال يا منحني جواب معادله مي گويند.

همچنين يك جواب خصوصي معادله با منحني اي مشخص مي شود كه از يك يا چند نقطه مشخص مي گذرد .
جوابهاي معادلات ديفرانسيل با بيش از يك متغير تابع نيز معمولا يك منحني در فضاي و يا به طور كلي در را نمايش مي دهند . به عنوان مثال معادله

كه در آن نيروي مؤثر بر نقطه مادي توابعي از متغير مي باشند و منحني هاي

مسير متحركي را نمايش مي دهد كه داراي شتاب لحظه اي است.
نمودار تابع جواب معادله فوق در فضاي قرار دارد .
از نظر هندسي جوابهاي معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي با توجه به وضعيت وابستگي متغير تابع به لا اقل دو متغير ، در حالت دو متغيره ، يك رويه در است .
شرايط اوليه و شرايط مرزي
تعيين جوابهاي خصوصي در معادلات ديفرانسيل معمولي و معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي هميشه به كمك مجموعه اي از شرايط امكان پذير است كه بر روي جواب اعمال مي شود يا در مسائل فيزيكي به عنوان اطلاع به ما داده ميشوند كه اين گونه شرايط به طور كلي به دو دسته تقسيم مي شوند:
الف ) شرايط اوليه
ب ) شرايط مرزي ( حدي يا كرانه اي )
شرايط اوليه براي يك معادله ديفرانسيل معمولي ، شرايطي بر روي جواب معادله اند كه همه در يك نقطه از دامنه تابع جواب داده شده اند. اين شرايط براي يك معادله ديفرانسيل معمولي مرتبه از يك متغير تابع به صورت زير داده مي شوند :

كه در آن نقطه اي از دامنه تابع جواب مقادير ثابت داده شده اند. اين شرايط براي يك معادله مرتبه اول فقط از شرط اول تشكيل شده است. كه حاكي از مختصات نقطه اي از صفحه مانند
است كه جواب خصوصي مورد نظر از آن مي گذرد .
براي يك معادله ديفرانسيل مرتبه دوم فقط دو شرط اول مورد استفاده قرار مي گيرد كه حاوي اطلاعاتي در مورد منحني جواب مورد نظر است كه از نقطه مي گذرد و در اين نقطه داراي ضريب زاويه است.
در مورد معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي آن نسبت به آن متغير مستقل داده مي شوند. شرايط مرزي مجموعه شرايطي بر روي جواب معادله اند كه معمولا تعداد آنها حد اقل دو مي باشد. به طور كلي شرايطي را كه به ازاي مقاديري از متغير مستقل يا متغيرهاي مستقل داده مي شوند شرايط مرزي مي گويند.
براي يك معادله ديفرانسيل مرتبه دوم معمولي شكل عمومي شرايط مرزي به صورت زير است:

كه و دو نقطه از دامنه تابع جواب و ثابت هاي داده شده اند يك شكل ساده شرايط فوق به صورت زير است :

شكل عمومي شرايط مرزي براي معادلات ديفرانسيل مرتبه ام از يك متغير تابع معمولي به صورت زير است:

كه در آن
نقطه داده شده و متمايز از دامنه تابع جواب مي باشند .
مثلا ً براي معادلات اين شرايط به صورت

هستند.
بنابراين براي يك منحني انتگرال كه مي خواهيم از دو نقطه داده شده
بگذرد شرايطي از نوع مرزي بكار مي رود.
همچنين مسائل معادلات ديفرانسيل را به مسائل با شرايط مرزي و مسائل با شرايط اوليه مشخص مي كنيم.
در اين مجموعه ما به گرد آوري روشهاي عددي حل معادلات ديفرانسيل مي پردازيم و بيشتر با آناليز عددي سر و كار داريم . كه آناليز عددي شامل مطالعه ، توسعه و تجزيه و تحليل اللمي مي گويند .
« بخش اول»
«حل عددي معادلات ديفرانسيل معمولي»
فصل اول: معادلات ديفرانسيل معمولي تحت شرايط اوليه
مقدمه
معادلات ديفرانسيل مرتبه اول به صورت زير نمايش داده مي شوند :

كه شاخه اي از آن را كه به حل عددي آن مي پردازيم مي توانيم به صورت زير از معادله بالا بدست آوريم :
كه مسئله با شرايط اوليه آن به صورت زير است :

حال ابتدا قضاياي وجود و يگانگي جواب را در مورد اين معادلات بررسي مي كنيم و بعد به ارائه روشهاي عددي مناسب براي حل آن مي پردازيم .
1.1 در اين قسمت در مورد اينكه براي يك معادله ديفرانسيل جوابي وجود دارد و اگر اين جواب هست آيا يكتا است يا نه بحث خواهيم كرد .
مدل ما يك مساله مقدار اوليه به شكل زير است :

هدف ما از حل اين معادله يافتن مقدار مجهول است . و معادله
يك مقدار خاص از تابع ( f ) x را مشخص مي سازد . و همانطور كه مي دانيم مشتق يك تابع شيب آن تابع را در نقطه مورد نظر ارائه مي كند . همچنين داريم :
در مورد وجود جواب براي معادله ديفرانسيل قضيه اي را بيان مي كنيم :
قضيه 1 : اگر در يك مستصيل به مركز مثلاً

پيوسته باشد آنگاه مساله مقدار اوليه (1 ) يك جواب به ازاي
خواهد داشت كه در آن ماكسيمم در مستطيل مي باشد.
اما حتي اگر پيوسته باشد ممكن است كه مساله مقدار اوليه (1) داراي جواب منحصر به فرد نباشد .
قضيه 2 :اگر بر مستطيل تعريف شده پيوسته باشد آنگاه مساله مقدار اوليه (1 ) بربازه يك جواب منحصر به فرد دارد .
قضيه 3 از نوع ديگري است كه به ما اجازه مي دهد به وجود يكتايي يك جواب بر روي يك

بازه از پيش تعيين شده پي مي بريم .
قضيه 3 : اگر در نوار پيوسته باشد و در نا مساوي

صدق كند آنگاه مساله مقدار اوليه (1) يك جواب منحصر به فرد در دارد. كه اين نا مساوي يك شرط ليپشيتز در متغير دوم است .
بسياري از معادلات ديفرانسيل داراي جواب هاي شناخته شده به صورت توابع معمولي نيستند در نتيجه اين گونه معادلات را نمي توان با روش مرسوم حل كرد. كاربرد سرهاي تابعي به عنوان جواب اين گونه معادلات، يكي از روشهاي مهم در حل معادلات ديفرانسيل مي باشد.
سري تواني زير را سري تيلور مي ناميم.

حال قضيه مهم تيلور را بيان مي كنيم:

قضيه: اگر آنگاه براي هر دو نقطه در

كه در آن
و نقطه اي بين است.
در واقع اين قضيه شكل ديگري از سري تيلور را نشان مي دهد.
حال به شرح روش سري تيلور مي پردازيم.
1. 2 روش سري تيلور
شرح روش :
در روش سري تيلور بايد فرض كنيم كه مشتقات جزئي وجود دارند . در روش سري تيلور جواب را به طور مستقيم نمي يابيم بلكه مقاديري از جواب را با گامهاي كه را خيلي كوچك در نظر مي گيريم بدست مي آوريم. سري تيلور به صورت زير است :

كه اگر بخواهيم اين سري را خيلي ادامه دهيم خسته كننده است همچنين براي تابعهاي پيچيده بدست آوردن مشتقات مراتب بالاتر مشكل است بنابر اين از مرتبه اي به بعد جملات را حذف مي كنيم . كه آنها بطور جمعي خطاي برشي ما را تشكيل مي دهند . همچنين مرتبه روش سري تيلور است اگر جملات تا و شامل آن مورد استفاده قرار گيرند .
كه اين خطاي برشي را از فرمول زير محاسبه مي كنيم :

انباشته شدن همه اين خطاهاي برشي موضعي موجب به وجود آمدن خطاي برشي كلي مي شود . بنابراين اگر خطاي برشي موضعي باشند آنگاه خطاي برشي كلي بايد باشد .
در اينجا به ارائه دو روش سري تيلور مرتبه اول و دوم و ام مي پرادزيم.
روش سري تيلور براي معادلات ديفرانسيل مرتبه اول:
اگر قرار دهيم
اكنون عبارت زير را داريم:

اگر قرار دهيم داريم همچنين فرض مي كنيم كه جواب است تقريباً برابر باشد. يعني

يعني

در مرحله بعدي به جاي و به جاي را قرار مي دهيم داريم:

با تكرار معيني از روش داريم:

مثال: از روش تيلور مرتبة براي حل بر روي با
استفاده كنيد، جوابها را براي مقايسه كنيد:
حل: مشتقهاي ابتدا بايد تعيين شوند. به خاطر داريم كه جواب تابعي از است و از فرمول
نسبت به مشتق مي گيريم و را بدست مي آوريم. سپس فرآيند را ادامه مي دهيم و مشتقهاي بالاتر را بدست مي آوريم:

براي پيدا كردن مشتقهاي ارائه شده در بالا را بايد در نقطه
محاسبه كنيم:

بنابراين با توجه به فرمول سري تيلور و داريم:

نقطة جواب محاسبه شده عبارت است از
براي پيدا كردن مشتقهاي را اكنون بايد در نقطه
محاسبه كنيم:

بنابراين داريم:

نقطه جواب عبارت است از:
روش سري تيلور براي معادلات ديفرانسيل مرتبه دوم و ام
مسأله مورد مطالعه همانطور كه مي دانيم در اينجا مسأله زير است:

براي مسأله قرار مي دهيم

همچنين فرض مي كنيم تابع تقريب جواب باشد يعني

در اين روش مي دانيم كه بسط تيلور مرتبه دوم تابع به صورت زير است:

از اين روابط داريم:

كه اين روابط اخير اساس روش سري تيلور در اين مسأله است كه مشابه با سري تيلور براي معادلات ديفرانسيل مرتبه اول به شكل زير صورت مي گيرد:

و بالاخره روش سري تيلور براي معادلات ديفرانسيل مرتبه ام به شكل زير است:

روش اويلر
روش سري تيلور با روش اويلر ناميده مي شود:

اين روش داراي اهميت نظري زيادي است زيرا قضاياي وجود مي توانند بر آن مبتني باشند.
معادلات ديفرانسيل تأخيري
در اين نوع معادلات مقدار به تابع در مقادير قبلي بستگي دارد. براي مثال داريم:

كه اگر مقدار را در بدانيم قادر به محاسبة هستيم و چون براي انتگرال گيري معادله ديفرانسيل با شروع در ، به مقدار با شروع در نياز خواهيم داشت. بنابراين مقادير بر روي بازة
به عنوان مقادير اوليه براي ما فراهم بايد باشند. مسائل با داشتن معادله ديفرانسيل ساده با اين روش به آساني قابل حل هستند ولي براي مسائل پيچيده تر بايد از روش سري

تيلور كمك بگيريم.
براي مثال مسئله زير را در نظر بگيريم:

جواب ما كه است بر روي بازه قرار دارد چون
است. كه مي توان با گامهايي به طول با استفاده از يك بسط تيلور استفاده كرد:

كه داريم:

3.1 روشهاي رونگه – كوتا
روشهاي رونگه كوتا از طريق تركيبات هوشمندانه مقادير از روش سري تيلور پيروي مي كنند. اما اين روشها برخي تجزيه و تحليلهاي سري تيلور را ندارند.
روش رونگه – كوتاي مرتبه دو
از سري تيلور داريم:

كه از معادله ديفرانسيل داريم:

حال اين مشتقات را در سري تيلور جايگزين مي كنيم كه داريم:

كه به معناي و به معناي مي باشد.
قضيه تيلور دو متغيره: اگر آنگاه براي هر دو نقطه در داريم:

معني جملات مزبور در اين قضيه به صورت زير است:

وغيره.
هدف از بيان اين قضيه اين بود كه ما قادريم مشتقات جزئي را در رابطه (1) با كمك چند جمله اول سري دو متغيره حذف كنيم:

معادله (1) به صورت زير در مي آيد:

به طور كلي فرمولهاي رونگه – كوتاي مرتبه دوم كه به روش هيدن نيز معروف است به شكل

زير است:

كه در آن پارامترهايي هستند كه در اختيار ما هستند كه معادله (2) مي تواند به كمك سري تيلور دو متغيره به شكل زير نوشت:

با مقايسه روابط (1) و (2) داريم:

كه اگر انتخاب كنيم كه در شرايط هم صدق مي كند روش متناظر با روش هيون است و اگر باشد روش تعديل يافته اويلر را داريم:

كه در آن:

روش رونگه – كوتاي مرتبه 4
اين روش به روش كلاسيك رونگه – كوتاي مرتبه ها نيز معروف است و آن را در اينجا ارائه مي دهيم:

كه در آن:

اين روش مرتبه 4 خوانده مي شود چون جملات سري تيلور تا و خود را توليد مي كند بنابراين خطاي آن است. كه اين همان خطاي برشي موضعي است.
در روش رونگه كوتاي مرتبه 4 يك مقدار در اولين گام محاسبه مي شود از طرف ديگر يك جواب دقيق وجود دارد كه ما آن را نمي دانيم بنابراين در اين گام خطاي برشي موضعي بنا بر تعريف عبارت است از:

كه اين خطاي برشي به ازاي مقادير كوچك مانند رفتار مي كند كه عددي مستقل از است اما وابسته به و تابع است. براي برآورد فرض مي كنيم كه هنگامي كه از به تغيير مي كند تغيير ننمايد. فرض كنيد مقدار تقريبي جواب در باشد كه با گامي به طول از به دست آمده باشد. فرض كنيد جواب تقريبي در
باشد كه با دو گام به اندازه از بدست آمده باشد. اينها هر دو قابل محاسبه با فرضهاي اختيار شده داريم:

با تفريق اين دو معادله داريم:

بنابراين خطاي برشي موضعي توسط تقريب زده مي شود.
روش رونگه – كوتا – فلبرگ تطبيقي
روش رونگه – كوتا – فلبرگ تطبيقي حاصل از مرتبه 5 است و از دو فرمول داراي مرتبه هاي 4 و 5 استفاده مي كند كه اين فرمولها مقادير تقريبي مختلفي از جواب را ارائه مي دهند و آنها را با
نشان مي دهيم:
(3)
(4)
كميت هاي : از فرمولهاي از نوع:

محاسبه مي شوند.
فرمول 3 از مرتبه پنج و فرمول 4 از مرتبه چهار است.
كه البته فرمول (3) از (4) دقيقتر است و براي خروجي الگوريتم اين روش از فرمول (3) استفاده مي كنيم. همچنين تفاضل
تقريبي از خطاي برشي موضعي است بنابراين مي تواند براي كنترل اندازه گام در الگوريتم استفاده شود.

مقادير ضرائب در جدول زير داده شده اند:

مثال: از روش رونگه كوتا مرتبه 4 براي حل بر روي
با استفاده كنيد.