بخشی از مقاله
چکیده
یکی از مسائل مهم در آنالیز عددی حل دستگاه معادلات غیرخطی میباشد، بنابراین نیاز به ساختن روشهای جدید کارا برای حل اینگونه دستگاهها بیش از پیش احساس میشود. در این پژوهش، که با هدف حل دستگاه معادلات غیرخطی توسط روش تکراری می باشد. با استفاده از روش نیوتن، روش تکراری دوگامی با همگرایی مرتبه چهار را برای حل عددی دستگاه معادلات غیرخطی ارائه میدهیم. این روش بر اساس ماتریس ژاکوبین و روشهای تکراری نیوتن، نور، وزیری و جارات بنا شده است بطوریکه در هر تکرار آن، نیاز به محاسبه مشتق فرچت مرتبه دوم و مراتب بالاتر ندارد تا به مرتبه همگرایی چهار برسد.
واژه های کلیدی
دستگاه معادلات غیرخطی، روشهای تکراری، روش نیوتن، مشتقپذیری فرچت و شاخص کار.
-1مقدمه
الگوریتمهای موجود در آنالیز عددی برای حل بسیاری از مسائل موجود در علوم پایه در رشتههای مهندسی مورد استفاده قرار میگیرند. برای مثال از این الگوریتمها در طراحی بناهایی مانند پلها، طراحی هواپیما، پیشبینی آب و هوا، تهیه نقشههای جوی از زمین، تجزیه و تحلیل ساختار مولکولها و پیدا کردن مخازن نفت استفاده میشود. همچنین اکثر ابررایانهها به طور مداوم براساس الگوریتمهای آنالیز عددی برنامهریزی میشوند. به طور کلی آنالیز عددی از نتایج علمی حاصل از اجرای محاسبات برای پیدا کردن روشهای جدید برای تجزیه و تحلیل مسائل استفاده میکند. یکی از مسائل مهم در آنالیز عددی حل دستگاه معادلات غیرخطی میباشد و به طور کلی، اساسیترین مسأله جبرخطی، حل دستگاه معادلات خطی و غیرخطی است. با اینکه از دیدگاه نظری تاکنون نتایج بسیار زیادی در خصوص حل این مسائل به دست آمده است، اما این نتایج نمیتواند به اندازه کافی راضیکننده باشد، چرا که برای حل دستگاه معادلات غیرخطی از روشهای تکراری استفاده میشود و چون این روشها براساس حدس اولیه میباشند، لذا جوابهای تقریبی بدست آمده با جواب دقیق مسأله اختلاف دارند. سؤال اینجاست که آیا میتوان الگوریتمی از مرتبه همگرایی چهار برای حل دستگاه معادلات غیرخطی به دست آورد؟
2 -بیان مسئله
بسیاری از مسائل در ریاضیات به صورت تحلیلی حل میشوند، ولی برخی غیرتحلیلی هستندکه اکثر آنها دقیقاً با یک الگوریتم حل میشوند که، به - - روشهای مستقیم حل مسأله - - معروف هستند. برای مثال روش حذفی گاوس برای حل دستگاه معادلات خطی و نیز روش سیمپلکس در برنامهریزی خطی مورد استفاده قرار میگیرند. اما روش مستقیم برای حل بسیاری از مسائل وجود ندارد و ممکن است از روشهای دیگری مانند روشهای تکراری استفاده شود، چون این روشها میتوانند در یافتن جواب مسأله مؤثرتر باشند. حال برای حل دستگاه معادلات غیرخطی که یکی از شاخههای مهم آنالیز عددی میباشد و در بسیاری از علوم پایه و مهندسی از اهمیت بالایی برخوردار است، از روشهای تکراری استفاده میکنیم. اگرچه حل اینگونه دستگاهها به سادگی دستگاه معادلات خطی نمیباشد، اما همانطور که در محاسبات عددی بررسی شده است، روشهای حل اینگونه دستگاهها، روش تکراری با حدس اولیه برای متغیرها میباشند و لذا روشهای تکراری بسیاری برای حل این دستگاه وجود دارد.
-3پیشینهی تحقیق
روش نیوتن برای حل معادلات غیرخطی برای اولین بار توسط ایزاک نیوتن ارائه شد، اما تعریف او تفاوتهای اساسی با تعریفی که امروزه به عنوان روش نیوتن میشناسیم دارد. نیوتن این روش را تنها برای چندجملهایها به کار میبرد. او در روش خود به جای ایجاد دنبالهای از تقریبهای ریشه، دنبالهای از چندجملهای را تشکیل میداد و در پایان کار تنها یک تقریب ریشه ایجاد میکرد. وی احتمالاً روش خود را از روش کمدقت ویت1 استنتاج کرده است. ماهیت روش ویت را میتوان در نوشتههای طوسی ریاضیدان ایرانی پیدا کرد. روش نیوتن اولین بار در کتابی2 در سال 1685 منتشر شد. روش نیوتن روشی کاملاً جبری بوده که تنها به چندجملهای محدود میشود، ولی روش رفسون به جای دنباله پیچیدهای از چندجملهایها، دنبالهای از تقریب متوالی ریشه به وجود آورده است. سرانجام در سال 1740 سیمپسون3 روش نیوتن را به عنوان یک روش تکراری برای حل معادلات غیرخطی معرفی کرد و تعریف او همان چیزی است که امروزه به عنوان روش نیوتن معروف است. روش تکراری نیوتن برای حل معادلات غیرخطی، روشی پایهای است که تحت شرایطی دارای مرتبه همگرایی دو میباشد. این روش برای حل دستگاه غیرخطی نیز تعمیم داده شده است.
4-4 معرفی نرمافزار متلب
نرمافزار متلب5 که نامش را از عبارت Matrix Laboratory گرفتهاند، یک نرمافزار محاسباتی جهت پردازش دادهها به صورت ماتریسهای متشکل از افراد میباشد که دارای چندین ویژگی است. سه ویژگی اصلی آن باعث مشهور شدن متلب شده است. یکی از این ویژگی ها ، استفاده آسان از متلب میباشد، زیرا دادهها را میتوان به راحتی وارد کامپیوتر کرد به ویژه برای الگوریتمهایی که به صورت جدولی پیادهسازی میشوند. این ویژگی مهم است، زیرا در مدت زمان کوتاه چندین مسأله عددی را میآزماید. ویژگی دوم متلب از دارا بودن دستورات سطح بالا برای رسم و نمایش دادههای دوبعدی و سهبعدی میباشد. نمودارها را میتوان به راحتی در محیط متن یا دستور به دست آورد. سومین ویژگی متلب، سرعت بالای آن در انجام محاسبات است . - Evans, 1995 -
5-5 روش کلاسیک نیوتن
روش نیوتن- رفسون که به آن روش کلاسیک نیوتن هم گفته می شود یکی از روش های تکراری تقریب ریشه می باشد. برای این روش باید تخمین نسبتاً نزدیکی از ریشه موردنظر در دست باشد.
6-5 روش های به دست آوردن فرمول نیوتن
فرمول روش نیوتن برای حل دستگاه معادلات غیرخطی را می توان به دو روش بدست آورد که در ادامه به شرح آنها می پردازیم.
1-6-5 روش اول
در این پژوهش به حل عددی دستگاه معادلات غیرخطی میپردازیم که روشهای پیشنهادی آن نیازی به محاسبه مشتق فرچت مرتبه دوم و بالاتر در هر تکرار ندارد تا به مرتبه همگرایی چهار برسد.
7-5روش نیوتن میانگین حسابی
انگیزه ساختن روش های مرتبه بالاتر برای حل دستگاه معادلات غیرخطی این است که در واقع مرتبهی همگرایی و شاخص کارایی روش های قدیم در حل مسائل کاربردی مناسب نبود. روشهای مرتبه سهای که نیاز به محاسبهی مشتق مرتبه دو ندارند، از روش Quadrature برای حل دستگاه معادلات غیرخطی استفاده میکنند. این روشها نیازی به یک ارزیابی تابع و دو ارزیابی مشتقات اولی در دو نقطهی متفاوت دارند. به عنوان مثال از اینگونه روشها میتوان به روش نیوتن میانگین حسابی - 3rd AM - اشاره کرد.که روش نیوتن برای حل دستگاه معادلات غیرخطی می باشد.
2-6-5 روش دوم
