بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله برای روش انتگرال گیری نیوتن - کاتس ، قواعد و فرمول های جدیدی با استفاده از مشتق بدست می آید که بسیار دقیق تر از فرمول های استاندارد نیوتن – کاتس هستند. در این روش از مقدار تابع و مقدار مشتق تابع روی بازه ی یکنواخت استفاده می شود. استفاده از مشتق اول در تمام نقاط بازه درجه ی دقت را تا ٢n+٢ افزایش می دهد؛استفاده از مشتق اول فقط درنقاط پایانی بازه - ابتدا و انتهای بازه - از نظر دقت بین روش بالایی و روش استاندارد نیوتن – کاتس قرار می گیرد. استفاده از مشتق مراتب بالاتر از درجه ی دقت بالاتری برخوردار است؛ در انتها بامثالی نشان می دهیم چه تعداد محاسبه لازم است تا مقدار خطا از حد معینی کمتر شود .
ب - استفاده ازمشتق اول فقط درنقاط ابتدا وانتهای بازه : این روش مانندقسمت - الف - است، بااین تفاوت که فقط مشتق را درنقاط ابتدا وانتهای بازه مورد استفاده قرار می دهیم.مزیت این روش نسبت به روش قبلی ساده تربودن آن، مخصوصاً درحالت مرکب است. هرچند دقت این روش نسبت به روش قبلی کمتر است ولی هنوز نسبت به روش نیوتن-کاتس استاندارد دقیق تراست.]۴[
٢ نتایج اصلی
نوع جدیدی از فرمول انتگرال گیری عددی نیوتن - کاتس ارائه شد که شامل استفاده از مشتق مرتبه ی اول درتمام نقاط بازه - قسمت الف - ، فقط در نقاط انتهایی بازه - قسمت ب - واستفاده از مشتقات مرتبه بالاتر در یک بازه ی تنها - قسمت ج - می باشد. وقتی مشتق اول را در تمام نقاط بازه استفاده می کنیم درجه ی دقت ٢n+٢ است که n تعداد زیر بازه های b]،[a است؛ وقتی ازمشتق اول در نقاط انتهایی بازه استفاده می شود برای n فرد ، درجه ی دقت ٣n+ و برای n زوج ،درجه ی دقت ۴n+ است. وقتی از مشتقات مرتبه بالاتر در یک بازه استفاده می کنیم ، درجه ی دقت ٢D+٢ است. - D مرتبه ی مشتق است - ضمناً می دانیم درجه دقت در روش نیوتن-کاتس استاندارد١ n + است.
