بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله معادله انتگرال فردهلم نوع دوم را با استفاده از روشهای چند گامی حل خواهیم کرد. ابتدا ساختار روش را ارایه خواهیم کرد و سپس به بررسی وجود و یکتایی جواب و همچنین همگرایی روش خواهیم پرداخت. در پایان نیز چند مثال عددی با روش ارایه شده حل شده است.
واژه های کلیدی: معادلات انتگرال فردهلم، روشهای چند گامی، همگرایی
١ مقدمه
معادله فردهم نوع دوم زیر را در نظر بگیریدکه در آن K و g توابعی هموار میباشند. ابتدا از طرفین معادله انتگرال، مشتق گرفته و آن را به یک معادله انتگرال-دیفرانسیل تبدیل میکنیم و سپس با استفاده از روشهای چند گامی در معادلات دیفرانسیل، معادله انتگرال را حل خواهیم کرد.با مشتق گرفتن از رابطه - ١ - خواهیم داشت:قرار میدهیم K = و لذا خواهیم داشت :که در آن به دنبال جوابی در بازه a x b هستیم که a و b متناهی میباشند و ٠y را با روش مناسب میتوان به دست آورد.ا گر معادله مورد نظر به صورت معادله انتگرال-دیفرانسیل فردهلم به صورت زیر باشد،
میتوان مستقیما معادله را به صورت - ٣ - در نظر گرفت.
٢ روش های چندگامی
برای بررسی روش روی معادله - ٣ - بازه [a; b] را به صورت ١ : : : ; N ;٢ ;١ ;٠ xn = a + nh; n = افراز میکنیم که در آن h طول گام روش میباشد. فرض میکنیم yn نشان دهنده تقریبی برای جواب y - xn - باشد و قرار میدهیم .fn = f - xn; yn - معادله - ٣ - را به صورت زیر در نظر میگیریم که در آن j و j اعدادی ثابت هستند. حال با استفاده از روشهای چند گامی - یا تک گامی - برای حل مسایل ODE، معادله - ۴ - را میتوان حل نمود. همچنین برای تقریب fn کافیست قسمت انتگرالی آن را با یکی از روشهای انتگرال گیری عددی جایگزین کنیم، یعنی حال ا گر از روش تک گامی برای حل معادله - ۴ - استفاده کنیم، N مجهول : : : ; yN ;٢y ;١y و N معادله خواهیم داشت که با استفاده از آنها مجهولات را مییابیم، و ا گر از روش -rگامی استفاده کنیم، ١ : : : ; y r ;١y معلوم و yr; : : : ; yN مجهول خواهند بود یعنی، ١ N r + مجهول و ١ N r + معادله خواهیم داشت که با استفاده از آنها مجهولات به دست خواهند آمد.به عنوان مثال رابطه - ۴ - با استفاده از چند قاعده مختلف به صورت زیر در میآید.
٣ وجود، یکتایی و همگرایی
قضیه زیر از ]١[ شرایط وجود جواب یکتا را برای معادله - ٣ - بیان میکند.قضیه ٣ . ١. فرض کنید f - x; y - در رابطه - ٣ - برای همه نقاط - x; y - در ناحیه D که توسط a x bو 1 < y < 1 تعریف میشود، تعریف شده و پیوسته باشد، a و b متناهی باشند و فرض کنید ثابت L وجود داشته باشد به طوریکه برای هر x، y و y_ که - x; y - و - x; y_ - هر دو در D باشند داشته باشیمآنگاه، ا گر ٠y عددی معلوم باشد، یک جواب یکتای y - x - برای معادله - ٣ - وجود دارد که y - x - برای هر - x; y - 2 D پیوسته و مشتق پذیر است.قبل از بیان قضیه همگرایی روش، تعریف ”صفر-پایدار” را به صورت زیر در نظر میگیریم.
تعریف ٣. ٢. روش چند گامی - ۴ - ، صفر-پایدار نامیده میشود ا گر هیچ ر یشهای از چند جملهای مشخصه، قدر مطلق بزرگتر از یک نداشته باشد و ا گر هر ر یشه با قدر مطلق یک ساده باشد.قضیه زیر از ]٢[ شرایط همگرایی روش چند گامی را بیان میکند.
قضیه ٣. ٣. شرایط لازم و کافی برای همگرایی این است که روش چندگامی - ۴ - از مرتبه حداقل یک باشد و نیز صفر-پایدار باشد.
۴ نتایج عددی
مثال ۴ . ١. معادله انتگرال فردهلم نوع دوم زیر را از ]٣[ در نظر بگیریدکه در آن ٠ = - ٠y - و جواب دقیق آن به صورت y - x - = x میباشد. با اعمال روش چند گامی ارایه شده روی این معادله، جواب دقیق روی نقاط افراز به دست میآید.مثال ۴ . ٢. به عنوان مثال دوم، معادله انتگرال-دیفرانسیل فردهلم زیر را از ]۴[ در نظر بگیریدکه در آن ١ = - ٠y - و جواب دقیق آن به صورت y = ex میباشد. نتایج حاصل از اعمال روش ارایه شده، در جدول ١ نمایش داده شده است.
