بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله معادله م نتوهیدرودینامی - MHD - در حالت پایا در حضور میدان مغناطیس القاشده ی نواخت که بازوایای مختلف به سطح سیال در یکانال وارد م شود با استفاده از روش المان مرزی حل شده است. برای دیوارههای کانال از لحاظ رسانندگ محدودیت وجود ندارد. همچنین برای بهبود جواب های عددی ناش از روش المانمرزی علاوه بر حالت استاندارد یعن درونیابی ثابت، از درونیابی های خط و درجه دو نیز استفاده شده که نقشبه سزای در بهتر شدن دقت و سرعت محاسبات داشته است. در انتها نتایج عددی برای سرعت و میدان مغناطیس القایی ارائه شده است.
واژهdهای کلیدی: روش المان مرزی، معادله م نتوهیدروداینامی .
١ مقدمه
قسمت هم ن معادله MHD همان طور که در ادامه در - ١ - ملاحظه خواهد شد، از نوع معادله هم ن advection−diffusion م باشد. هان آیدین - Han Aydin - و تزر سزگین - - T ezer−Sezgin در مرجع [2] قسمت هم ن معادله MHD را با استفاده از روش المان مرزی ثابت حل کرده اند، چرا که تنها قسمت هم ن معادله advection − diffusion دارای جواب اساس - fundamental solution - م باشد. ضمناً آنها در مرجع [2] مسئله را تنها برای حالت که دیواره کانال نارسانا و زاویه میدان مغناطیس القایی وارد بر سیال با محور yها که با α نشان م دهیم، برابر 2π باشد حل کرده اند. پس از آن تزر سزگین و بزکایا - Bozkaya - در مرجع [3] سع کردند که معادله MHD - ١ - را برای مقادیر دلخواه α و دیواره های کانال با رسانندگ های مختلف، از روش المان مرزی ثابت حل کنند. اما در اینجا نیز باق ماندن ی انتگرال روی کل دامنه از میزان کارایی روش المان مرزی به میزان قابل توجه کاسته است، چرا که مهم ترین شرط و ویژگ روش المان مرزی در حل معادلات دیفرانسیل تبدیل همه انتگرال ها به انتگرال مرزی و وابسته نبودن به دامنه میباشد.
لذا در این حالت علارغم آنکه معادله MHD برای مقادیر مختلف α حل شده، ول در واقع به دلیل وجود ی انتگرال دامنه ای از روش ضعیف تر از روش المان مرزی که به دامنه نیز وابسته م باشد مسئله حل شده است. جواب تحلیل معادله MHD - ١ - با شرایط مرزی - ٢ - تنها برای برخ حالات خاص وجود دارد، ما در اینجا با استفاده از تغییر متغیری مناسب معادله MHD - ١ - با شرایط مرزی - ٢ - را به معادله ای هم ن تبدیل کرده و سپس معادله ی هم ن حاصل را درحالت کل - برای مقادیر مختلف α و دیواره های کانال با رسانندگ های متفاوت - بااستفاده از روش المان مرزی حل خواهیم کرد. همچنین علاوه بر استفاده از درونیابی ثابت - برای تقریب مرز و توابع روی مرز - ، در روش المان مرزی از درونیابی های خط و درجه دو نیز برای بهتر شدن سرعت و دقت محاسبات، استفاده کرده ایم.
٢نتایج اصل
صفحه ی xy را طوری در نظر م گیریم که جهت حرکت سیال در راستای محور zها باشد، در این صورت معادلات بی بعد شده حاکم برای جریان پایا - steady - و آرام - laminar - و سیال لزج - viscous - ، تراکم ناپذیر - incompressible - و رسانای جریان ال تریسیته در ناحیه Ω و در حضور میدان مغناطیس القا شده B0 که با محور yها زاویه α م سازد طبق مرجع [1] به صورت زیر میباشد. که در آن Mx = Msin - α - ، My = Mcos - α - و L0 - M = طول مشخصه، H0 ضریب القایی میدان مغناطیس به کا رفته، λ رسانایی ال تری و µ ضریب لزج م باشد - عدد هارتمن است و اولین بار توسط هارتمن زمان که با جریان بین صفحات نارسانای موازی کار میکرد استفاده شد. به عبارت دیر عدد هارتمن M اندازه بردار - Mx , My - م باشد. فرم کل شرایط مرزی به صورت زیر میباشد: چون M = Mx2 + My2است، م _توانیم فرض کنیم که Mx ̸= 0 یا My ̸= 0، پس بدون کاستن از کلیت مسئله م _توان فرض کرد که Mx ̸= 0 اکنون با اعمال تغییر متغیر U2 = V − B − x در معادلات - ١ - و - ٢ - داریم:
دو سطر اول - ٣ - در واقع معادله - ١ - و دو سطر دوم - ٣ - در واقع شرایط مرزی - ٢ - بعد از اعمال تغییر متغیر م باشد. ما در اینجا معادله هم ن فوق را از روش المان مرزی با درونیابی ثابت، خط ناپیوسته و درجه دو ناپیوسته حل کرده ایم ول به دلیل خلاصه نویس تنها به ارائه نتایج عددی برای کانال با سطح مقطع مربع اکتفا کرده ایم.ناحیه محاسبات ، یکانال با سطح مقطع مربع فرض شده است. به طور دقیق تر Ω مربع |x|, |y| < 1 م باشد. از آنجا که مربع درچهار گوشه اش هموار نیست، نم توان از روش های خط و درجه دو پیوسته، المان مرزی استفاده کرد، چرا که این روش ها از مشتق نرمال در نقاط گوشه ای استفاده میکنند و این در حال است که مشتق نرمال در این نقاط موجود نمیباشد. لذا ما در اینجا از روش هایخط و درجه دو ناپیوسته المان مرزی که این مش ل را ندارد استفاده میکنیم.
در جدول - ١ - مقادیر عددی به دست آمده از روش های المان مرزی ثابت، خط ناپیوسته و درجه دو ناپیوسته که به ترتیب با اندیس های C.B.E.M و DC.L.B.E.M و DC.Q.B.E.M مشخص م شوند، برای سرعت و میدان مغناطیس القایی با مقادیر دقیق - exact - در مرجع [4] و روش المان محدود - - F.E.M در مرجع [5] مقایسه شده، همچنین کانتورهای میدان مغناطیس و سرعت برای αهای مختلف در ش ل - ١ - و λهای متفاوت در ش ل - ٢ - رسم شده است. قابل ذکر است که در همه محاسبات، برای محاسبه انتگرال های مرزی از روش انتگرال گیری عددی گوس 100 نقطه ای استفاده شده، همچنین زمان های ارائه شده در جدول - ١ - بر حسب ثانیه م باشد.
