بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
مقاله تحلیل چندمعیاره و چند رده ای شبکه های حمل و نقل با استفاده از مدل های Mixed GEV مبانی نظری و متدولوژی
چکیده
بسیاري از مطالعات در زمینه ي برنامه ریزي حمل و نقل به هر چه واقعبینانهتر ساختن مدلسازي رفتار اختصاص یافتهاست. مسألهي مدلسازي انتخاب مسیر نیز از قاعدهي فوق مستثنی نبودهاست. دقت و کارایی بسیاري از تصمیمات گرفته شده در زمینهي طراحی و توسعه ي شبکههاي حمل و نقل، قیمتگذاري مسیر و اتخاذ دیگر سیاستهاي مرتبط با مدیریت عرضه یا تقاضا در گروي دقت در پیشبینی الگوي تعادلی ترافیک در شبکه است. به همین جهت توسعهي مدلهاي تخصیص ترافیک تعمیمیافتهتر، دقیقتر و با حساسیت بیشتر در سالهاي اخیر در ادبیات حمل و نقل مورد توجه بودهاست. این پژوهش به معرفی و توسعه ي مبانی نظري یک رویکرد جدید در تخصیص ترافیک با هدف افزایش دقت، حساسیت و سیاستپذیري در پیشبینی الگوي ترافیک شبکههاي حملونقل در نتیجهي بهره گیري از فرضیات رفتاري سالمتر در مدلسازي رفتار انتخاب مسیر اختصاص خواهد یافت. رویکرد پیشنهادي شامل تخصیص ترافیک چندمعیاره (چندمتغیره) و چندردهاي و با استفاده از مدلهاي مقدار حدي تعمیمیافته ي مخلوط خواهد بود. چهارچوبنظريِ متدولوژي پیشنهادي با جزئیات شرح دادهشده و مدل بر روي شبکههاي آزمایشی نیز مورد مطالعه قرار گرفتهاست. همچنین مقایسهاي نیز بین رویکرد پیشنهادي با مدل سنتی تکمتغیره و تکردهايِ قطعی صورت گرفته که حاکی از تفاوت قابل توجهی میان نتایج دو روش است.
-1 مقدمه
مدلسازي رفتار از مهمترین مباحث تحلیل تقاضاي سفر به شمار میآید. بسیاري از مطالعات در زمینهي برنامه ریزي حمل و نقل به هر چه واقعبینانهترساختنِ مدلسازي رفتار اختصاص یافتهاست، چرا که بسیاري از نیازهایی که مهندس حمل و نقل می بایست براي پاسخ گویی به آنها برنامهریزي نماید و همچنین بسیاري از تغییرات در ازاي اجراي سیاستهاي مختلف که میبایست آنها را پیشبینی نماید در حقیقت، نتیجهي انتخابهاي استفادهکنندگانِ خدمات حمل و نقل است. بنابراین افزایش توان پیشبینیِ رفتار افراد در استفاده از تسهیلات حمل و نقل به معناي دقت بیشتر در برآورد تقاضا، ارائهي تحلیلهاي واقعگرایانهتر و در نتیجهي اتخاذ تصمیمهاي بهتر خواهد بود. از همین رو، در سالهاي اخیر توجه بیشتري از جانب برنامهریزان و محققان در زمینه ي توسعه ي مدلهاي واقعگرایانهتر، با فرضیات رفتاري سالمتر و با حساسیت بیشتر نسبت به متغیرهاي مختلف صورت گرفتهاست.
مسألهي مدلسازي انتخاب مسیر نیز از قاعده ي فوق مستثنی نبودهاست. دقت و کارایی بسیاري از تصمیمات گرفته شده در زمینه ي طراحی و توسعه ي شبکههاي حمل و نقل، قیمتگذاري مسیر و اتخاذ دیگر سیاستهاي مرتبط با مدیریت عرضه یا تقاضا در گروي دقت در پیشبینی
الگوي تعادلی ترافیک در شبکه است. به همین جهت توسعه ي مدلهاي تعمیمیافتهترِ تخصیص ترافیک، دقیقتر و با حساسیت بیشتر در سالهاي اخیر در ادبیات حمل و نقل مورد توجه بودهاست.
این پژوهش به معرفی و توسعهي مبانی نظري یک رویکرد جدید در تخصیص ترافیک با هدف افزایش دقت، حساسیت و انعطافپذیري در پیشبینی الگويترافیک شبکه هاي حملونقل در نتیجهي بهرهگیري از فرضیات رفتاري سالمتر در مدلسازي رفتار انتخاب مسیر اختصاص خواهد یافت. رویکرد پیشنهادي شامل تخصیص ترافیک چندمعیاره (چندمتغیره) و چندردهاي و با استفاده از مدلهاي مقدار حدي تعمیمیافتهي مخلوط خواهد بود. مدلهاي سنتی تخصیص ترافیک اغلب تکمعیاره و تکردهاي هستند و در اکثر آنها از معیار تعادل واردراپ [1] براي مدلسازي رفتار انتخاب مسیر استفاده شدهاست. تعدیل هر یک از محدودیتهاي فوق در پژوهشهاي جداگانهاي تاکنون پیشنهادشده اما درنظرگیري همزمان آنها به منظور بهره گیري همزمان از مزایاي نظري این تعمیمها تاکنون در ادبیات تخصیص ترافیک گزارش نشدهاست. ضمن آنکه مشخصه ي نمایش جنبههاي اقتصادي-اجتماعی مسافران به صورت صریح در مدلسازي رفتار انتخاب مسیر براي نخستین بار در تخصیص ترافیک و توسعه و کاربرد مدلهاي مقدارحدي تعمیمیافتهي مخلوط نیز براي اولین بار در ادبیات مدلسازي در این پژوهش گزارش شدهاست.
مدلهاي مقدار حدي تعمیم یافته(GEV) 1 و نیز مدل لوجیت مخلوط2 که هر دو از بدیعترین و پیشرفتهترین مدلهاي انتخاب هستند در سالهاي اخیر به طور قابل ملاحظهاي مورد توجه برنامهریزان و محققان حمل و نقل نیز قرار گرفته و در مدل سازي رفتار در تحلیل تقاضاي حمل و نقل به کار گرفته شدهاند. مدلهاي GEV و لوجیت مخلوط هر دو میتوانند به عنوان تعمیمهایی بر مدل سادهي لوجیت استاندارد نگریسته شوند اما از زوایایی متفاوت. مدلهاي GEV به طور خاص فرض توزیعهاي مستقل بر روي گزینهها براي عبارتهاي خطا که منجر به تحمیل الگوي جانشینی مستقل بودن از گزینههاي نامرتبطIIA 3 به مدل سازي انتخاب میشد را تعدیل میکنند. این مدلها از طریق اجازه دادن به درنظرگیري توزیعهاي توأم براي مطلوبیتهاي تصادفی (یا به طور معادل براي عبارتهاي خطا) امکان نمایش الگوهاي جانشینی بسیار تعمیمیافتهتر و به عبارت دیگر با محدودیت کمتري را به تحلیلگر می دهند. به طور خاص، ورود این مدلها به مسألهي انتخاب مسیر دقیقاً به منظور نمایش همپوشانی4 مسیرهاي مختلف و درنظرگیري آن در مدلسازي انتخاب مسیر بودهاست؛ مسألهاي که محل اصلی نقد منتقدان به کاربرد مدل لوجیت استاندارد در تخصیص ترافیک بودهاست چرا که با توجه به وجود عینی همپوشانی بین مسیرهاي مختلف در یک شبکهي حمل و نقل، تحمیل فرض مستقل بودن از گزینههاي نامرتبط به فرآیند مدلسازي انتخاب مسیر فرض بسیار محدودکنندهاي به شمار میآید. مدلهاي GEV همگی در این ویژگی نیز مشتركاند که نظیر لوجیت استاندارد از فرم بسته براي محاسبهي احتمالات برخوردارند. اجازهدادنِ الگوهاي رقابت (جانشینی)5 تعمیم یافته میان گزینهها به همراه راحتی محاسباتی ناشی از برخوردار بودن فرم بسته این مدلها را در سالهاي اخیر بسیار مورد توجه محققان قرار دادهاست.
مدل لوجیت مخلوط نیز فرم دیگري از تعمیم بر مدل لوجیت استاندارد است. به طور سنتی دو تفسیر مختلف براي لوجیت مخلوط ارائه میشود که البته هر دو به لحاظ نظري معادلاند اما از منظري که در این پژوهش بیشتر مورد نظر است لوجیت مخلوط را میتوان به عنوان مدلی تفسیر کرد که جاي درنظرگیري یک ذائقه ي واحد براي جمعیتی از انتخابکنندگان طریق تخمین مقادیري واحد براي ضرایب متغیرهاي تابع مطلوبیت، تنوع سلیقه در ترجیح میان پارامترها یا ویژگیهاي مختلف را میان انتخاب کنندگان از طریق در نظرگیري توزیع احتمالی براي همه یا برخی از ضرایب تابع مطلوبیت نمایش میدهد. به عنوان مثال، این فرض منطقی خواهد بود که در توابع مطلوبیت مسیر، همه ي استفادهکنندگان شبکه به لحاظ درك یا حساسیت نسبت به متغیري مثل زمان سفر یکسان نیستند؛
بلکه تصمیمگیرندگان مختلف به لحاظ ارزش زمان سفر مقادیر متفاوتی براي خود دارند؛ ویژگیاي که مدل لوجیت استاندارد قادر به نمایش آن نیست. درنظرگیري توزیع احتمالی پیوسته براي ضریب زمان سفر در واقع معادل در نظرگیري توزیع براي ارزش زمان بر روي جمعیت استفادهکنندگان شبکه است که به لحاظ نظري فرض بسیار تعمیمیافته و سالمی است. نمایش این ناهمگونی1 در انتخاب، به طور عادي در انحصار مدل لوجیت مخلوط است؛ به علاوه، رویکرد استفاده از لوجیت مخلوط در تخمین بر روي دادههاي ارجحیت اظهارشدهSP 2 یک امتیاز بسیار ویژه دارد و آن نمایش همبستگی 3 بر روي بعد زمان است که همواره هنگامی که پاي دادههاي SP در میان باشد، لوجیت مخلوط را به عنوان یک گزینه ي مناسب مدلسازي پیش روي محقق قرار میدهد. کاربرد مدل لوجیتاستاندارد (و نه انواع دیگر) مخلوط در زمینهي انتخاب مسیر تا کنون به شکل بسیار محدودي و آن هم با رویکردي متفاوت از این پژوهش و با هدف نمایش همپوشانی مسیرها صورت گرفتهاست .[2] اما نکتهاي اساسی این است که تاکنون در ادبیات مدلسازي و اقتصادسنجی استفاده از منافع هر دوي این رویکردها به طور همزمان، یعنی نمایش توأم همبستگی میان گزینهها (یا همان الگوهاي جانشینی محدودنشده یا کمتر محدودشده) و ناهمگونی در درك و دریافت و انتخاب مسافران (و احیاناً نمایش همبستگی بر روي زمان اگر دادههاي SP در کار باشد) صورت نگرفتهاست، هرچند که تئوري محدودیتی در این مورد قائل نیست و به سادگی اجازهي ساخت مدلهایی نظیر لوجیت ترکیبهاي دوتایی مخلوط4 یا لوجیت آشیانهاي متقاطع مخلوط5 و به طور عمومی مدل هاي مقدار حدي تعمیمیافتهي مخلوط6 را میدهد. اصطلاحات فنی اخیر در ادبیات مدل سازي تاکنون به طور رسمی به کار نرفتهاند.
در این پژوهش بخش 2 مروري خواهیم داشت بر مطالعاتپیشینِ صورت گرفته در زمینهي توسعه و استفاده از مدل لوجیت مخلوط و نیز منابع مرتبط با رویکرد تخصیص چندمعیاره ي ترافیک. لازم به ذکر است که با توجه بهبحث صورت گرفته پیش از این، از آنجا که در زمینهي کاربرد مدلهاي مخلوط در تخصیص ترافیک و نیز کاربرد مدلهاي مقدارحدي تعمیمیافتهي مخلوط در مدلسازي مطالعهاي منتشر نشدهاست، منابع تخصیص چندمعیاره و مدلهاي انتخاب مخلوط به صورت جداگانه و مستقل مرور شدهاند. بخش 3 به تبیین مبانی نظري مدلهاي مقدارحدي مخلوط و بخش 4 به نمایش قابلیت کاربرد این مدلها بر روي شبکههاي آزمایشی اختصاص خواهد یافت. مقایسهاي نیز بین رویکرد پیشنهادي در این پژوهش و رویکرد سنتی تخصیص ترافیک قطعی صورت خواهیم داد. بخش 5 نیز به بیان خلاصه و نتیجهگیري اختصاص خواهدیافت.
-2 مروري بر منابع
-1-2 مدلسازي با استفاده از لوجیت مخلوط
مدل لوجیت مخلوط را میتوان از انعطافپذیرترین مدلهاي انتخاب دانست که میتوان هر مدل مطلوبیت تصادفی دیگري را با آن تقریب زد .[3] این مدل همچنین قادر به نمایش هر نوع الگوي جانشینی، تنوع تصادفی ذائقه1 بر روي انتخابکنندگان و همچنین نمایش همبستگی در مطلوبیتها بر روي زمان (در آزمایشهاي SP و دادههاي پانل(2 است. همچنین بر خلاف دیگر مدلهاي انتخاب، توزیع خطاها در آن محدود شده نیست و قادر به درنظرگیري هر نوع توزیعی براي عبارتهاي تصادفی خطا است. همچنین شبیهسازي احتمالات آن سر راست است. افزایش سرعت محاسبات کامپیوتري و نیز درك بهتر از فرآیند شبیه سازي در سالهاي اخیر امکان به کارگیري هر چهبیشترِ قدرت این مدل را فراهم ساختهاست .[1]
مبانی و چهارچوب نظري مدل لوجیت مخلوط در منابع متعددي ذکر شدهاست. از جمله و از مهمترین آنها میتوان به مکفادن و ترین [4]،ریوِلت و ترین [5]، ترین وسانیِر [6]، ترین [7]، ترین [8]، ترین [9]، واکر [10]،چِرچی وُارتوزار [11]، مونیزاگا و آلوارز-دازیانو [12] ونارِلا و بات [13] اشاره کرد.
مدل لوجیت مخلوط در ادبیات گاهی مدل با ضرایب تصادفی3 (دالی و همکاران ([14] و گاهی هم مدل پروبیت چندجملهاي با هسته ي لوجیت یا به اختصار مدل هسته-لوجیت4 نامیده میشود .[15] بخور و همکاران [2] مدل هسته لوجیت را به منظور در نظرگرفتن همبستگی میان مطلوبیت گزینههاي مختلف در مسألهي انتخاب مسیر به کار گرفتند.
به طور سنتی، تخمین مدل لوجیت مخلوط با استفاده از روش بیشینه ي درستنمایی شبیهسازي5 شده انجام میشود که در آن با تولید اعداد (شبه) تصادفی، عبارت تابع تحت انتگرال بارها محاسبه شده و سپس میانگین نتایج گرفته میشود. بات [16] روش جایگزینی براي تخمین مدل لوجیت مخلوط پیشنهاد نمود و با آزمایش بر روي مسألهي انتخاب وسیله نشان داد که روش پیشنهادي دقت بیشتري را در ازاي تعداد دفعات نمونهگیري تصادفی کمتر و در نتیجه زمان محاسباتی کمتر به دست میدهد.
-2-2 تخصیص ترافیک چندمعیاره
مطالعاتی که در آنها مدلهاي تخصیص ترافیک به صورت چندمتغیره یا چندمعیاره1 در نظر گرفته شده باشند به صورت محدودي در ادبیات حمل و نقل یافت میشوند. از مهمترین و مقبولترین آنها شاید بتوان به مطالعات صورت گرفته توسط دافرموس [17] لورنت 18]، 19 و [20 ، یانگ و هوانگ [21]، ناگورنی [22]، ناگورنی و دانگ [23] و دایال 24]، 25 و [26 اشاره نمود. اما تقریباً تمامی این مطالعات در یک ویژگی مشتركاند و آن درنظرگیري یک ترکیب خطی از زمان و هزینهي سفر به عنوان هزینهي عمومی2 مسیر یا تابع عدم مطلوبیت سفر است. برخی از این مطالعات با تمایز قائل شدن براي مقدار ارزش زمان3سفرِ ردههاي مختلف مسافران، رویکرد تعمیمیافتهتر و پیشرفتهتري را در پیش گرفتهاند. برخی ردههاي مختلفی از مسافران را به صورت گسسته به لحاظ ارزش زمان سفر متمایز کرده و برخی نیز توزیعی پیوسته براي ارزش زمان سفر در نظر گرفتهاند. به عنوان مثال، ناگورنی [23] یک مدل چندمعیاره و چندردهاي4 براي تعادل ترافیکی توسعه داد که در آنمسافرانِ هر کلاس (رده) عدم مطلوبیت سفر از یک مسیر را به صورت ترکیب وزنداري از زمان سفر و هزینهي سفر درك می کنند. مدل به صورت صریح اثر تراکم5 (یا همان وابستگی زمان سفر به جریان ترافیک عبوري) را میبیند.
رویکرد مشابهی نیز توسط دایال 24]، 25 و [26 به منظور نمایش واکنش متفاوت مسافران به فاکتورهاي مختلف یکمسیرِ واحد نظیر زمان سفر، تراکم و عوارضِ مسیر در انتخاب مسیر پیشنهاد شد. وي مدل خود را T2 نامید که در آن یک ترکیب تصادفی خطی زمان و هزینهي سفر به عنوان معیار عدم مطلوبیت به هر مسیر اختصاص داده میشود. در حقیقت T2 فرض میکند که هر مسافر ارزش زمان سفر خود را دارد و مسیري را انتخاب میکند که با توجه به این ارزش زمان سفر، ترکیبی خطی از زمان و هزینه را کمینه نماید. به بیان دیگر ارزش زمان سفر در مدل مذکور متغیري تصادفی فرض میشود که داراي توزیعی بر رويجمعیت استفاده کنندگان شبکه است. این تنهاوجه تصادفی مدل پیشنهادي دایال است. این مدل در عین حال که یک وجه تصادفی انتخاب مسیر یعنی همان متفاوت بودن ارزش زمان سفر افراد مختلف را در نظر میگیرد، یک وجه تصادفی دیگر از فرآیند انتخاب مسیر را نادیده میگیرد که همان خطاي درك، دریافت و اندازهگیري است که به طور معمول در تمامی مدل هاي تصادفی انتخاب وارد میشود. به عبارت دیگر دایال فرض میکند که هر مسافر با آگاه بودن از مقدار ارزش زمان سفر خود و هزینه و زمانسفرِ تمامی مسیرهاي موجود، قادر است مسیري را که هزینه ي عمومی متناظر با شخص او را کمینه میکند تشخیص داده و انتخاب نماید. حال آنکه (1) هر مسافر قادر به اندازهگیري یا تشخیص زمان و هزینهي تمامی مسیرها به طور دقیق نیست. (2) مسافران نوعاً از تمام مسیرهاي ممکن بین مبدأ-مقصد خود آگاه نیستند. (3) ممکن است مسافران مختلف معیارهاي دیگري هم براي انتخاب مسیر داشته باشند که در کنترل تحلیلگر نیست. (4) اندازهگیري ویژگیهاي مسیرها براي خود تحلیلگر نیز به طور دقیق امکانپذیر نیست و (5) حتی اگر زمان و هزینهي سفر تنها معیارهاي انتخاب همهي افراد باشد معلوم نیست همهي مسافران الزامأ ترکیبی خطی از این دو معیار را به عنوان ملاك انتخاب مسیر خود به کار ببرند. با توجه به همهي این دلایل؛ یعنی خطاي درك و دریافت ویژگیها توسط مسافران، خطاي اندازهگیري، خطاي تعیین مدل و نیز عدم برقراي فرضمسافرانِ بهینهگرِ خطاناپذیر، در نظرگرفتن یک عبارت خطاي کلی در تابع (عدم) مطلوبیت مسیر، به لحاظ رفتاري اگر مهمتر از درنظر گرفتن توزیع براي ارزش زمان سفر نباشد، کماهمیتتر هم به نظر نمیرسد.
مدل پیشنهادي در این پژوهش در عین حال که وجه تصادفی مذکور را با درنظرگرفتن یک عبارت خطاي کلی با یک توزیع احتمالی همزمان و مناسب میبیند،وابستگیِمیزانِ حساسیت و درك نسبت به متغیر هزینه را از طریق نرمال کردن هزینه ي سفر بر اساس معیاري از درآمد مسافر به صورت سیستماتیک میبیند و از طریق درنظرگیري توزیع احتمالی پیوسته براي ضریب زمان نیز در عین حال قادر است ناهمگونی در حساسیت به متغیر زمان سفر را به صورت تصادفی در مدلسازي انتخاب مسیر نمایش دهد.
-3 مبانی نظري مدلهاي مقدار حدي تعمیمیافته ي مخلوط
مدلهاي احتمالی انتخاب مسیر نوعاً از نظریهي مطلوبیت تصادفی استخراج میشوند. یک مسافر نوعی n را از میان Nمسافرِ یک مبد أ -مقصد در نظر بگیرید که براي سفر از مبدأ به مقصد خود با ∈ مسیر که آن را می نامیم مواجه است مطلوبیتی که این مسافر از مجموعه اي از مسیر دریافت میکند با شود. در حالت کلی، این مطلوبیت توسط تحلیلگر قابل مشاهده نیست و به دو بخش تقسیم میشود: یک مؤلفه ي قطعی1 (غیرتصادفی)، که بخش قابل نمایش مطلوبیت2 نامیده میشود و یک بخش تصادفی3، که عبارت یا مؤلفه ي خطا4 یا اختلال5 نامیده میشود و درنظرگیرندهي همه ي عواملی است که بر مطلوبیت تأثیر گذاشته ودر لحاظ نشدهاند. به عبارت دیگر، لحاظ کننده ي ماهیت تصادفی مطلوبیت است :
در رابط ي فوق بالانویس rs را که نشان دهنده ي انتخاب مسیر بین زوج مبدأ-مقصد rs است براي اختصار حذف کردهایم. تابعی از پارامترهایی ناشناخته اما به لحاظ آماري قابل تخمین و ویژگیهاي سفر در مسیر j و احیاناً ویژگیهاي شخصی فرد n است. عبارت خطا، منعکس کنندهي همه ي عوامل تأثیرگذار بر مطلوبیت است که تحلیلگر نمیتواند آنها را به صورت صریح در مدل نمایش دهد؛ نظیر خطاي اندازهگیري6، خطاي درك افراد7 و یا اشتباه در تعیین مدل.8 ویژگیهاي هر مدل انتخاب به شدت به ساختار و توزیع احتمالی که براي عبارتهاي خطاي آن در نظر گرفته میشود بستگی دارد.
اصل موضوع بهینهسازي مطلوبیت در نظریهي مطلوبیت تصادفی بیان میدارد که هر مسافر مسیري را انتخاب خواهد کرد که اعتقاد دارد از همه مطلوبتر است یا به عبارت دیگر، بیشترین مطلوبیت را از آن دریافت میکند. بنابراین احتمال انتخاب یک مسیر مانند j توسط یک فرد نوعی مانند n به صورت زیر تعریف میشود:
چنانچه بردار خطا براي فرد n را به صورت و تابع چگالی عبارتهاي احتمال توأم را با نمایش دهیم، آنگاه به صورت زیر قابل بیان خواهد بود:
انتگرال ظاهر شده در رابطهي فوق یک انتگرال بعدي است و یک تعیینکننده ي دومقداره یر این صورت صفر است .[1] براي است که برابر 1 است هرگاه پیشامد درون پرانتز آن رخ دهد و در غیر این صورت خانوادهي مدلهاي لوجیت، ( .) به گونهاي تعیین میشود که انتگرال فوق بتواند به صورت تحلیلی حل شود. این فرمهاي تحلیلی بسته، که سادگی محاسبهي احتمالات را به دنبال دارد موجب شدهاست که این رده از مدلها بسیار مورد توجه محققین، از جمله در زمینهي مدلسازي انتخاب مسیر قرار بگیرد.
خانوادهي مدلهاي مقدار حدي تعمیمیافته(GEV) 1 که توسط مکفادن [27] فرمولبندي گردیدهاست ردهاي از مدلهاي انتخاب را شامل میگردد که همگی آنها در یک ویژگی مشترك هستند؛ این که در تمامی آنها عبارتهاي تصادفی خطا داراي توزیع توأم مقدار حدي هستند که در حالت کلی تابع توزیع تجمعی آن با رابطهي (4) داده میشود.
تابع مولّد2 نامیده میشود. ( این رابطه هریک از مدلهاي خانوادهي GEV تابع مولّد خود را دارند. در حالت کلی، تابع تابعی مشتقپذیر و نامنفی از متغیر نامنفی است که باید شرایط زیر را نیز تأمین نماید:
تابعی همگن از درجهي 1 است؛ یعنی براي هر عدد حقیقی نامنفی
:
امین مشتق( نسبت به هر ترکیبی از m تا از ها، براي مقادیر فرد m نامنفی و براي مقادیر زوج m نامثبت است.
در این حالت احتمال آنکه یک تصمیمگیرندهي نوعی، گزینه ي j را از میان ) گزینهي موجود انتخاب کند با رابطهي (5) دادهمیشود که در آن
بنابراین مدلهاي مقدار حدي تعمیم یافته مجموعه ي محدودي از مدلها را شامل نمیشود و امکان ساخت مدلهایی را از طریق تعیین تابع مولد با شرایط مذکور می دهد که قادر به نمایش الگوهاي جانشینی موردنظرِ تحلیل(...)گر باشند. به عبارت دیگر، تحلیلگر میتواند متناسب با مسألهي مورد نظر خود، با تعیین تابع ، مدل مناسب مسألهي خود را بسازد و در عین حال از راحتی نظري برخورداري از فرم بسته براي محاسبهي احتمالات نیز بهرهمند بماند. مدلهاي لوجیت چندجملهاي4 (MNL)، لوجیت آشیانهاي متقاطع (CNL) و لوجیت ترکیبهاي دوتایی (PCL) از معروفترین مدلهاي GEV هستند
-1-3 لوجیت چندجملهاي یا لوجیت استاندارد
در مدل لوجیت چندجملهاي تابع مولد با رابطهي (6) داده میشود. این نوع مشخص کردن تابع مولد معادل فرض کردن توزیعهاي مستقل و مشابه(IID) 1 گامبل2 یا همان مقدار حدي3 (رابطهي (7 براي عبارتهاي خطا است .[3] احتمالهاي انتخاب از رابطهي شناختهشدهي ( (8 به دست می آید:
ضعفهاي نظري مدل لوجیت در انتخاب مسیر نیز در واقع از همین ساختار محدودشدهي خطاها ناشی میشود. در یک شبکهي حملونقل نوعی بین هر زوج مبدأ- مقصد تعداد بسیار زیادي مسیر وجود دارد که بسیاري از آنها به لحاظ فیزیکی با یکدیگر همپوشانی دارند. همین سبب میشود هزینهها و نیز عوامل مشاهدهنشده در (عدم)مطلوبیت مسیرها از یکدیگر مستقل نباشند که همین ویژگی احتمالهاي انتخاب مسیرها را تحت تأثیر قرار میدهد. در حالی که مدل لوجیت استاندارد قادر به نمایش این همبستگیها نبوده و عملاً (عدم)مطلوبیت هر دو مسیر را متغیرهاي تصادفی مستقل در نظر میگیرد. این مسأله در ادبیات تخصیص ترافیک به مسألهي همپوشانی4 معروف شده و محل اصلی نقد پژوهشگران به تخصیص ترافیک بر اساس مدل لوجیت چندجملهاي بودهاست. بسیاري از پژوهشهاي دیگر در زمینه ي تخصیص تصادفی ترافیک عملاً براي رفع همین ضعف منطقی؛ یعنی نادیده گرفتن همپوشانی مسیرها بودهاست.
-2-3 لوجیت آشیانهاي متقاطع
مدل لوجیت آشیانهاي متقاطع با تابع مولد دادهشده در رابطهي (9) مشخص میشود. البته توابع مولد مختلفی براي مدل CNL پیشنهاد شدهاست، اما ووشا [28] که نخستین بار از این مدل استفاده کرده از تابع مولد زیر استفاده کردهاست:
که در آن a اندیس آشیانهها و k اندیس گزینهها است. و ها پارامترهاي مدل هستند. اولی پارامتر لوگ- مجموع یا پارامتر عدم شباهت1 یا درجهي آشیانهاي2 و دیگري ضرایب شمول3 نامیده میشوند که در واقع درصد عضویت گزینهها به آشیانههاي مختلف را نشان می دهند. مدل لوجیت آشیانهاي متقاطع یک ساختار آشیانهاي انعطافپذیر را فراهم میکند که در آن گزینهها میتوانند با درجات عضویت مختلف به آشیانهها متعلق باشند. بنابراین این مدل داراي یک ساختار آشیانهاي همپوشان4 است. براي سازگاري با اصل بیشینهسازي مطلوبیت، پارامتر لوگ- مجموع باید بین صفر و یک باشد و در حالت خاص 1 هم مدل CNL به MNL تنزل میکند. در این مطالعه مقدار پارامتر برابر 0/5 درنظر گرفته شدهاست.
در مدل CNL احتمالهاي انتخاب با رابطهي (10) داده میشود. پراشکر و بخور [29] نخستین بار با درنظرگیري کمانهاي شبکه به عنوان آشیانهها و مسیرها به عنوان گزینهها و مرتبط ساختن پارامترهاي شمول به توپولوژي شبکه به شکل مناسب (رابطهي ((11)، مدل CNL را براي انتخاب مسیر سازگار کردند که در آن، و به ترتیب طول کمان a و مسیر j هستند و متغیر دوتایی صفر و یک است که مقدار آن برابر 1 است هرگاه کمان a در مسیر j قرار داشته باشد.
-3-3 لوجیت ترکیبهاي دوتایی
مدل لوجیت ترکیبهاي دوتایی نخستین بار توسط چو [30] پیشنهاد شده است. تابع مولد آن با رابطهي (12) تعریف میشود. در این مدل هر جفت از گزینهها آشیانهي خود را تشکیل میدهند. ساختار آشیانهاي آن امکان در نظرگیري همبستگی بین مطلوبیت هر دو گزینه را میدهد. اندیس شباهت بین گزینهها (مسیرها)ي i و j است. احتمالهاي انتخاب نیز از رابطهي (13) میتواند محاسبه شود:
مدل را نخستین بار پراشکر و بخور [29] با مربوط ساختن اندیسهاي شناهت به هندسهي شبکه (رابطهي (14 براي استفاده در تخصیص ترافیک سازگار کردهاست. در این رابطه، طول مشترك مسیرهاي i و j است.
-4-3 مدلهاي با ضرایب تصادفی یا مدلهاي مخلوط
مدل لوجیت مخلوط مدلی بسیار تعمیمیافته و انعطافپذیر است که قابلیت نمایش تصادفی تنوع ذائقه، درنظرگیري همبستگی در عوامل مشاهده نشده بر روي زمان (یعنی مثلاً در آزمایشهاي (SP و نیز درنظرگیري همبستگی میان مطلوبیتهاي گزینهها و در نتیجه نمایش نرخهاي جانشینی (رقابت) محدودنشده میان گزینهها را دارد. مدلهاي لوجیت یا به عبارت دقیقتر مدلهاي خانواده ي GEV در حالت عادي فاقد دو ویژگی اول هستند. مدلهاي لوجیت مخلوط همچنین بر خلاف پروبیت بر فرض توزیع الزاماً نرمال استوار نیستند . یک تصمیمگیرندهي نوعی n را درنظر بگیرید که با گزینه براي انتخاب مواجه است. مطلوبیتی که این فرد از گزینه ي j ام دریافت میکند به صورت رابطهي (15)
مشخص میشود که در آن، بردار متغیرهاي توصیفی و بردار ضرایب این متغیرها براي فرد n است که نمایش دهندهي ذائقه ي این فرد است و عبارتی تصادفی با توزیع همزمان مقدار حدي تعمیم یافته (در حالت خاص برايلوجیت چندجمله اي مخلوط، توزیع iid مقدار حدي) است .
بر خلاف مدل لوجیت استاندارد که فرض می کند ضرایب مقادیر ثابتی هستند و براي هر یک از افراد جمعیت یکسان هستند، لوجیت مخلوط اجازه میدهد که این ضرایب بر روي جمعیت به طور تصادفی تغییر کنند. افراد مختلف ذائقههاي مختلفی دارند و لذا میتواند توزیعی از این ذائقه بر روي جمعیت وجود داشته باشد که این ضرایب تصادفی قادر به نمایش این تنوع خواهند بود. رابطهي (16) تابع چگالی این توزیع را نشان میدهد. مسلماً این توزیع تابعی از پارامترهایی ناشناخته از جمعیت مانند میانگین و واریانس خواهد بود که تحلیلگر به دنبال تخمین آنها است. θ نمایشدهندهي پارامترهاي مذکور است. به عبارت دیگر، هر فرد در این نمایش از رفتار انتخاب، ذائقه (سلیقهي) خود را دارد که
با βي خود آن فرد مشخص میشود. اما توزیعی از این سلیقه و در نتیجه از این β بر روي جمعیت انتخابکنندگان وجود دارد که خود این توزیع با پارامترهایی مشخص میشود که آنها را با θ نشان دادهایم. و به طور کلی، در این رویکرد، هدف تعیین یا به عبارت دقیقتر تخمین همین پارامترهاي (جمعیت) است.
