بخشی از مقاله
چکیده. با توجه به اهمیت معادله بلک-شولز که یکی از مهمترین معادلات دیفرانسیل در حوزه مهندسی مالی است، و همچنین اهمیت بدست آوردن جواب تحلیلی از این معادله، با به کار بردن روش تقارن لی کلاسیک و غیر کلاسیک و بعضی از تکنیک هاي محاسباتی، مولدهاي بینهایت کوچک از این معادله را بدست آورده و با تغییر مختصات، تعداد متغیرهاي مستقل معادله را کاهش داده و جواب هایی براي این معادله بدست میآوریم.
-1 مقدمه
فعالان بازارهاي اقتصادي و سرمایه گذاري به دلیل شرایط حاکم بر بازارها، نوسانات و عدم اطمینان از وضعیت آتی بازار، همواره با ریسکهایی مواجه هستند که ممکن است آنها را در معرض ضرر قرار دهد. براي این منظور همواره تلاش شده است که راهکارهاي مناسبی براي پوشش این ریسک ها اتخاذ شود و ریسک هاي پیش روي فعالان بازار سرمایه مدیریت شود. طی دهه گذشته، پژوهش در مورد قراردادهاي اختیار از ارزش بالایی برخوردار بوده است. انواع مختلفی از مدل هاي ریاضی براي قیمتگذاري اختیارات وجود دارد که مهم ترین آن ها مدل قیمت گذاري اختیارات بلک-شولز است.
در سال 1973 فیشر بلک، میرن شولز و رابرت مرتون مقاله اي با عنوان ”قیمتگذاري اختیارات و بدهی هاي سهام” در مجله اقتصاد سیاسی منتشر کردند [1] و فرمول قیمت گذاري اختیارات را گسترش دادند. در همان سال بلک و شولز مسئله قیمت گذاري اختیارات را مدل سازي کردند که به مدل بلک-شولز مشهور گشت. ایده اصلی بلک و شولز در رابطه با ساختار اوراق بهادار بدون ریسک با به کارگیري شرایط مرزي، قیمت اختیار و سهام قرار داشت. مدل بلک-شولز نقش اساسی و محوري در موفقیت مهندسی مالی در دهههاي 1980 و 1990 داشته است.
معادله بلک-شولز را در نظر بگیرید که در آن r نرخ بهره بدون ریسک، _ نوسان پذیري قیمت، _ سود تقسیمی، x قیمت جاري - فعلی - ، t زمان باقیمانده تا انقضاء اختیار، T انقضاء اختیار و u قیمت اختیار خرید میباشد.در این مقاله براي بدست آوردن جواب هاي پایا و دقیق از معادله بلک-شولز - 1 - ، آنالیز تقارن لی کلاسیک و غیرکلاسیک را به کار می بریم. آنالیز تقارن لی می تواند براي بدست آوردن جواب هاي تحلیلی و دقیق از معادلات دیفرانسیل به صورت کارا مورد استفاده قرار گیرد. در روش تقارن لی هدف بدست آوردن میدان هاي برداري معادله دیفرانسیل و سپس تقلیل آن معادله و بدست آوردن جواب هاي تحلیلی متناظر با آن میدان برداري است. براي بدست آوردن میدان هاي برداري جدید و در نتیجه جواب هاي جدید از معادله دیفرانسیل، یکی از تعمیم هاي ممکن از آنالیز تقارن لی ”روش غیرکلاسیک” میباشد.
