بخشی از مقاله
چکیده: هدف روش تک مرحله ای dea ارزیابی شعاع کارایی در ماهیت ورودی، خروجی و یا ترکیبی واحد تصمیم گیرنده در یک مرحله بهینه سازی می باشد. این هدف به وسیله حاصل ضرب جمع متغیرهای کمکی در یک مقدار بسیار کوچک غیر ارشمیدسی در فرم پوششی و یا استفاده از این مقدار به عنوان کران پایین متغیرها در مدل مضربی دوال به دست خواهد آمد. واضح است که انتخاب یک اپسیلون کوچک می تواند منجر به اشتباهات محاسباتی قابل توجهی گردد، در حالی که با انتخاب یک مقدار به اندازه کافی کوچک، شعاع کارایی و متغیرهای کمکی به دست آمده از روش تک مرحله ای باید با مقدار به دست آمده از روش دو مرحله ای برابر باشد. در این مقاله ما ثابت می کنیم که در مدل های ترکیبی یک مقدار مرزی برای اپسیلون وجود دارد به طوری که اگر اپسیلون کوچکتر از این مقدار مرزی باشد جواب برنامه تک مرحله ای دقیق می باشد و خطای محاسباتی وجود نخواهد داشت.
.1 مقدمه
یکی از مدل های متداول در تحلیل پوششی داده ها - DEA - مدل ترکیبی است. هدف این مدل ارزیابی شعاع کارایی در یک جهت کاهش ورودی و افزایش خروجی واحدهای تصمیم گیرنده - DMU - است. اگر یک DMU کارای شعاعی باشد ممکن است برخی مقادیر غیرشعاعی رابپذیرد به این معنا که بتوان ورودی یا خروجی آن واحد را بهبود بخشید که دراین صورت گفته میشود آن واحد یک نمایش ناکارآمدی دارد[8] پس یک DMU را قویا کارا میگویند اگروفقط اگر شعاع کارایی آن در مدل ترکیبی صفر باشد - منظور اینکه میزان حرکت در یک جهت به هدف بهبود کارایی صفر باشد - و هیچ نمایش ناکارآمدی نداشته باشد.
مسائل متغییرهای ورودی و خروجی و راه های محاسبه برای ارزیابی آن ها درادبیات اولیه DEA مطرح وبحث شده است ,[6] , [5] . [7] آزمایش کارایی شعاعی و نمایش کارآمدی هر واحد DMU معمولا در دو مرحله انجام میشود.[1] در مرحله اول شعاع کارایی را دریک جهت مشخص ارزیابی وشناسایی میکند ودرمرحله بعد نمایش کارآمدی رابا ماکزیمم کردن مجموع مولفه های متغیرهای کمکی مرتبط با ورودی و خروجی ارزیابی میکند.
یک جایگزین برای راه حل دومرحله ای روش تک مرحله ای است که شعاع کارایی وبهبود هرمولفه رادریک برنامه ارزیابی میکند. برمبنای این رویکرد عامل بهبودشعاع کارایی درتابع هدف اصلاح شده وشامل حاصلضرب مجموع متغییرهای کمکی ورودی وخروجی دریک مقدار ثابت بسیارکوچک - ازنظرتئوری نامتناهی - > 0 نیز میباشد که البته این مطلب هم ارز آن است که در دوال مدل مضربی به عنوان کران پایین روی همه وزن های ورودی و خروجی گنجانده شده باشد. همان طور که در مقاله نشان داده شده روش حل یک مرحله ای اهمیت نظری دارد و دارای اشکالات محاسباتی است.
ازچشم اندازنظری ثابت باید به اندازه کافی کوچک باشد تا مدل مضربی شدنی باشدیا به طور هم ارز مدل پوششی آن یک مقدار بهینه متناهی داشته باشد. علاوه براین حتی اگر کوچک باشدونتیجه مدل ترکیبی یک جواب بهینه متناهی باشدهیچ تضمینی وجودندارد که شعاع کارایی تخمین زده شده ومتغییرهای کمکی به مقدار واقعی آن ها که ازروش دو مرحله ای به دست آمده نزدیک باشد.
به طورمستقیم این نگرانی رامیتوان با انتخاب یک بسیارکوچک رفع کرد و دقت جواب تقریبی را بهبود داد[2] باتوجه به متن فوق حل مدل ترکیبی DEA یک مرحله ای عمده توجه رادراین مقاله به خوداختصاص داده است. رایج ترین سوال دراین مسیرنگرانی درباره تخمین بازه اطمینان [0, ∗] است که ∗ > 0 ماکزیمم مقدار است که مدل مضربی را شدنی نگه میدارد [2] . [10],[3],[4],[9] , واضح است که با انتخاب یک ازناحیه اطمینان همچنان تضمینی نیست که نتیجه راه حل بهینه سازی تک مرحله ای یک تقریب مناسب ازشعاع کارایی واقعی ومتناظربا متغییرهای کمکی باشد.
البته دیدگاه مقاله ما متفاوت از متن فوق است. ما دراین مقاله ثابت میکنیم که برای حل مدل ترکیبی تک مرحله ای یک مرز موثر اکیدا مثبت 0 ≤ ∗ وجود دارد که ازنظرتئوری مدل ترکیبی تک مرحله ای با هر ∈ - 0, 0 - مقدارواقعی شعاع کارایی و متغییرهای کمکی برای حاصل میشود و دقیقا بامقادیر به دست آمده از روش دو مرحله ای مجزا برابرخواهدشد. همچنین ما بازه - 0, 0 - را به عنوان بازه موثر معرفی خواهیم کردکه برای هر - ∈ - 0, 0 روش تک مرحله ای حداقل ازنظر تئوری تقریبی نیست بلکه یک روش حل دقیق برای ارزیابی همزمان شعاع کارایی وترکیب کارآمدی DMU هاست.
در مقاله [12]مرز موثر برای مدل های با ماهیت ورودی گرا و خروجی گرا تحت مفروضات CRS و همچنین تحت مفروضات VRS بحث شده است .در این مقاله ما بررسی مدل ترکیبی و محاسبه مقدار مرز موثر در این مدل و رو تک مرحله ای مدل ترکیبی میپردازیم. این نتیجه های تئوری نشان میدهندکه برای هرمقدار به اندازه کافی کوچک هراختلاف بین کارایی واقعی و تخمین آن که از روش تک مرحله ای به دست آمده کاملا ناشی از اشتباهات محاسباتی هستند.همچنین بااستفاده از نتایج معروف تحلیل حساسیت دربهینه سازی خطی [11] ما نشان میدهیم که مرزمؤثر 0 که به عنوان مقداربهینه برنامه خطی ساخته شده خاص ارزیابی شده به و مفروضات بازده به مقیاس ثابت یامتغییر وابستگی دارد و به طورکلی درمدل های مختلف با ماهیت ورودی یاخروجی [8]ومدل ترکیبی کاملا متفاوت است.
.3مرزکارای مدل ترکیبی
درادامه جزئیاتی درباره مدل ترکیبی مطرح خواهیم کرد و سپس نشان خواهیم دادکه برای حل تک مرحله ای این مدل نیاز به تنظیمات ساده ای است که دربخش بعدی به تفصیل مشخص شده است.
