مقاله در مورد نقش فعالیت‌های مکمل و فوق‌برنامه در بهبود یادگیری درس ریاضی

word قابل ویرایش
74 صفحه
12700 تومان
127,000 ریال – خرید و دانلود

نقش فعالیت‌های مکمل و فوق‌برنامه در بهبود یادگیری درس ریاضی

از عوامل موثری که در بهبود درس ریاضی می‌تواند اثربخش باشد فعالیت‌های‌ مکمل‌ و فوق‌ برنامه‌ است که‌ قسمتی‌ از فرایند تدریس‌ فعال‌ و پویاست‌. این‌ فعالیت‌ها را می‌توان‌ به‌ گونه‌ای‌ در تدریس‌ طراحی‌ نمود که‌ فرصت‌ اندیشیدن‌، حل‌ مساله‌، ایجاد انگیزه‌ و تثبیت‌ یادگیری‌ را به‌ دنبال‌ داشته‌ باشد. تجارب‌ نگارنده‌ در بررسی‌های‌ گوناگون‌ ]و بررسی حاضر[ خصوصاً در درس‌ ریاضی‌ حاکی‌ از

این‌ امر است‌ که‌ این‌ فعالیتها، هم چون‌ کاربرد یادگیری‌ در محیط‌ و فضای‌ پیرامون‌ دانش‌آموز، مانند، خانه‌، مسجد، پارک‌ و نیز اجرای‌ نمایش‌ از زندگی‌ دانشمندان‌ ریاضی‌ و… همگی‌ به‌ خوبی‌ خواهند توانست در تحقق‌ اهداف‌ مهم‌ ریاضی‌ یاریگر معلم‌ باشند. روش تحقیق در این بررسی، شبه‌آزمایشی با استفاده از گروه گواه و آزمایش می‌باشد.

واژه‌های کلیدی: فعالیت مکمل، فوق‌برنامه، اهمیت ریاضی، اهداف ریاضی در ابتدایی

مقدّمه‌:
بهبود مسائل‌ تعلیم‌ و تربیت‌، به‌ بلندای‌ تاریخ‌ زندگی‌ بشر همواره‌ از دغدغه‌های‌ او بوده‌ است‌.
رویکردهای‌ نوین‌ تربیتی‌ بر دیدگاه‌ فعال‌ و توسعه‌ یافته‌ بنا شده‌ است‌ تا‌ توانایی‌ همگامی‌ بافناوری‌ و ارتباطات‌ نوین‌ را داشته‌ باشد.

یادگیری‌ عمیق‌ موضوعات‌ دروس‌ کمک‌ به‌ پرورش‌ شهروندانی خواهد کرد که‌ ابعاد مختلف‌ توانایی‌های‌ آنان همچون‌، خود شکوفایی‌، خلاقیت‌ و استدلال‌… شکوفا شده باشد.
فعالیت‌های‌ مکمل‌ و فوق‌ برنامه‌ بعنوان‌ قسمتی‌ از تدریس‌ فعال‌ باید به‌ گونه‌ای‌ طراحی‌ گردد که‌ یادگیری موضوعات‌ در زندگی‌ روزمره‌ دانش‌آموزان‌ به‌ کار آید. این‌ فعالیت‌های‌ قادر است‌ در تمام‌دروس‌ از جمله‌ ریاضی‌ کارآیی‌ بالایی‌ داشته‌ باشد و در صورت‌ اجرایی‌ صحیح‌ افراد پرسشگر ومحقق‌ و خلاقی‌ بسازد.

استفاده‌ از این‌ فعالیت‌ها در دوره‌ ابتدایی‌ به‌ لحاظ‌ اینکه‌ دانش‌آموزان‌ در سن‌ جامعه‌ پذیری‌ قراردارند و در این‌ زمان‌ به‌ درونی‌ سازی‌ ارزشها و علائق‌ و مهارتها می‌پردازنند بسیار مهم‌تر است‌.
باید اذعان کرد که آموزش درس ریاضی همواره به لحاظ ماهیت به ظاهر خشک آن با مشکلات زیادی روبه‌رو بوده است و همین امر لزوم استفاده از فعالیتهای گوناگون را بیشتر می‌سازد.
لذا مقاله‌ حاضر در صدد بیان‌ تأثیر فعالیتهای‌ مکمل‌ و فوق‌ برنامه‌ و اثرات‌ آن‌ بر بهبود یادگیری ‌دانش‌آموزان‌ در درس‌ ریاضی‌ می‌باشد.

اهمیت‌ و اهداف‌ ریاضی‌ در دوره‌ی‌ ابتدایی‌:
آموزش‌ درست‌ درس‌ ریاضی‌ می‌تواند نگاهی‌ دقیق‌ و منطقی‌ به‌ مسائل‌ ومجهولات‌ دنیای‌ پررمزوراز علمی‌ و غیر علمی‌ را به‌ انسانها بیاموزد همچنین‌ راههای‌ استنباط‌ و کسب‌ تجربه‌ های‌گوناگون‌ را در ایشان‌ تقویت‌ کند. «ریاضیات‌ زبان‌ علم‌ است‌ و می‌تواند ابتکار و نوآوری‌ و خلاقیت‌ را دردانش‌آموزان‌ تقویت‌ کند.» (سلطانی‌، ۱۳۷۹)

«موریس، کلاس‌» عقیده‌ دارد، «ریاضیات‌ عالی‌ترین‌ دستاورد اندیشه‌ و اصیل‌ترین‌زاده‌ ذهن‌ آدم‌ است‌ و مجموعه‌ همه‌ ارزشهاست‌. (شهریاری‌ به‌ نقل‌ از موریس‌، کلاس‌، ۱۳۸۵)
«پولیا» هم‌ مهم‌ترین‌ نقش‌ ریاضی‌ را توسعه‌ تفکر می‌داند و هدف‌ عمومی‌ تدریس‌ ریاضی‌ را توسعه ‌عادت‌های‌ خوب‌ ذهنی‌ می‌داند (پولیا، ۱۳۸۰).
بنابراین اگر اهداف‌ ریاضی‌ برآورده‌ شود. ابعاد گوناگون‌وجودی‌ افراد شکوفا می‌گردد.

اهداف ریاضی در دوره‌ی ابتدایی:
۱ ـ پرورش‌ نظم‌ فکری‌ و درست‌ اندیشیدن‌
۲ ـ ایجاد توانایی‌ در محاسبات‌ عددی‌ در زندگی‌ روزمره‌ و محاسبات‌ ذهنی‌ و تخمین‌ زدن‌
۳ ـ ایجاد توانایی‌ درک‌ مفهوم‌ ریاضی‌ و ارتباط‌ آن‌ با مسائل‌ روزمره‌ (فرزان‌، ۱۳۷۲، ص‌ ۲)

فعالیت‌های‌ مکمل‌ و فوق‌ برنامه‌:
عوامل بسیار می‌توانند روند یادگیری‌ را تسهیل‌ و تعمیق‌ نمایند یکی‌ از این‌ عوامل‌ بهره‌گیری‌ از فعالیت‌ها مکمل‌ وفوق‌ برنامه‌ است‌.
«فعالیتهای مکمل به فعالیتهای‌ اطلاق‌ می‌شود به‌ منظور تثبیت‌ و تعمیق‌ کارکرد عملی‌ در طول‌ سال‌ تحصیلی» (فضلی‌ خانی‌ و همکاران‌، ۱۳۸۲)

«فعالیت‌های‌ فوق‌ برنامه‌ نیز مجموعه‌ای از فعالیت‌ها و تجارب‌ دانش‌آموزان‌ است‌ که‌ به‌ خارج‌ از حیطه‌کلاس‌ درس‌ مربوط‌ می‌گردد». (چکیده‌ مقالات‌ جایگاه‌ فالیتهای‌ مکمل‌ و فوق‌ برنامه‌، ۱۳۸۴)
«فعالیت‌ مکمل‌ موجب‌ بهبود و تعمیق‌ یادگیری‌ و ایجاد فرصت‌ برای‌ اندیشیدن‌ و تمرین‌ مهارت‌هاست‌. هر چند غیر از موارد کتاب‌ است‌ ولی‌ در راستای‌ آن‌ می‌باشد» (رحیمی‌، ۱۳۸۳)

این‌ فعالیت‌های‌ بعنوان‌ قسمتی‌ از فرایند تدریس‌ اگر به‌ درستی‌ طراحی‌ و همسو با اهداف‌ درس‌ باشند موجب ‌ حل‌ مساله‌ و بروز خلاقیت‌ و علاقمندی‌ به‌ درس‌ ریاضی‌ در دانش‌آموزان‌ خواهند شد. و اگر با زندگی‌ روزمره‌ و واقعی‌ کودک‌ مرتبط‌ گردد ذهن‌ او را به‌ چالش‌ واداشته‌ و یادگیری‌ها را دراو عمیق‌تر می‌نماید بنابراین‌ معلم‌ بعنوان‌ مدیر یادگیری‌ «فرصت‌ هایی‌ جهت‌ اینکه‌ کودکان‌ شخصاًیادگیری‌ در کلاس‌ خود را در بیرون‌ از کلاس‌ هم‌ تجربه‌ کنند باید بدهد» (گنجی، ۷۴)

«شوان»‌ هم‌ معتقد است‌ که‌، هیچ‌ نظریه‌ای‌ نمی‌تواند کاملاً توضیح‌ دهنده‌ ی‌ پویایی‌ عمل‌ باشد، دانستن‌ این‌ که‌ کودکان‌ در کلاس‌ چه‌ یاد گرفته‌اند مهم‌ نیست‌، بلکه‌ مهارت‌های‌ عملی‌ آنها در کاربرد مهم‌ است»‌. (شوان‌، ۱۹۷۹)، فعالیتهای‌ مکمل فرصتهایی‌ به‌ دانش‌آموزان‌ جهت‌ خودآموزی‌ و یادگیری‌ چیزهایی که آموخته‌اند می‌دهد.

فعالیتهای‌ همچون‌ تعیین‌ مساحت‌ و محیط‌ فضای‌ زندگی‌ دانش‌آموزان‌ (خانه‌، مسجد ،پارک‌ و…) وگزارش‌ به‌ کلاس‌ و گفتگو درباره‌ آن‌ به‌ عمیق‌تر شدن‌ یادگیری‌ و علاقمندی‌ به‌ درس‌ ریاضی‌ که‌ به‌ مناسبت‌ ماهیت‌ ظاهراً خشک‌ آن‌ مورد علاقه‌ بسیاری‌ از دانش‌آموزان‌ نیست‌ خواهد شد. و اضطراب ‌آنان‌ را نیز تقلیل‌ می‌دهد «بابلیان»‌ هم‌ معقد است‌ که‌ «یادگیرندگان‌ اگر یک‌ مفهوم‌ از فرا گرفته‌ باشندباید در مواقع‌ لزوم‌ به‌ نحوی‌ موثر از آن‌ استفاده‌ می‌نمایند» (بابلیان‌، ۱۳۸۳)

فعالیتهای‌ مکمل‌ و فوق‌ برنامه‌ به‌ طور غیر مستقیم‌ موجب‌ ماندگاری‌ یادگیری‌ می‌شوند «الگوریتم‌هایی‌ که‌ در جریان‌ فعالیتهای‌ محصلین‌ ابداع‌ می‌گردد جهت‌ اتکا به‌ نفس‌ آنها در حل‌ مسائل ‌ریاضی‌ و باور خودشان‌ بسیار مهم‌ است.» (کرامتی‌، ۱۳۸۱، ص‌۱۹۳)
«پستالوژی»‌ هم‌ معتقداست‌ که‌ دانش‌آموزان‌ باید از وسایل‌ ملموس‌ و آشنا به‌ محیط‌ پیرامون‌ خودکه‌ با واقعیات‌ زندگی‌ آنها تطبیق‌ دارد در یادگیری‌ استفاده‌ نمایند» (مفیدی‌، ۱۳۸۲ ص‌ ۸۸)

با توجه‌ به‌ مطالب‌ ارائه‌ شده‌ نگارنده نیز در محیط‌ آموزش‌ خود به‌ بررسی‌ نقش‌ فعالیتهای‌ مکمل‌ وفوق‌ برنامه‌ پرداخته‌ است‌. تا تاثیرات این فعالیتها را برعوامل خاص (سؤالات این بررسی) دریابد.
اهداف‌ این‌ بررسی‌ عبارت‌ است‌ از نقش‌ فعالیت‌های‌ مکمل‌ و فوق‌ برنامه‌ بر ایجاد علاقه‌ نسبت‌ به ‌درس‌ ریاضی‌، بهبودیادگیری‌، تعمیق‌یادگیری‌ در درس‌ ریاضی‌، استفاده‌ از یادگرفته‌ها درموقعیتهای ‌مشابه‌.

روش:
روش‌ این‌ بررسی‌ شبه‌ آزمایشی‌ می‌باشد، با استفاده‌ از گروه‌ گواه‌ و آزمایش‌ در یک‌ کلاس‌ دو پایه‌(چهارم‌، پنجم‌) می‌باشد.
پایه‌ چهارم‌ بعنوان‌ گروه‌ آزمایش‌ که این‌ فعالیتها در مورد آنان اجرا و انجام‌ گردید و در پایه‌ پنجم‌ بعنوان گروه‌ گواه‌ اجرا نشد

ابراز گردآوری‌ اطلاعات‌، اجرای‌ فعالیتهای‌ مکمل‌ و فوق‌برنامه تجزیه‌ و تحلیل‌ آن‌ و مقایسه‌ گروه‌ گواه‌ و آزمایش‌ بود. شیوه‌ تحلیل‌ اطلاعات‌ استفاده‌ از درصدها، فراوانی‌ و جدول‌ها بود گروه‌ مورد آزمایش‌ وگواه‌ تمامی‌ دانش‌آموزان‌ هر دو پایه‌ با تعداد ۲۰ نفر بودند.
نتایج‌ حاصل‌ از این‌ بررسی‌ در تمامی‌ موارد حاکی‌ از تأثیرات‌ مثبت‌ و نقش‌ فعالیتهای‌ مکمل‌ وفوق‌ برنامه‌ بر مواردی‌ بود که‌ در اهداف‌ بررسی‌ مطرح‌ شده‌ بود که‌ در جدول‌ هسیتوگرام‌ منعکس‌ می‌باشد.

نمودار شماره ۱ ـ هیستوگرام
میزان درصد نقش فعالیتهای مکمل و فوق برنامه بر سوالات تحقیق

نتیجه‌گیری:
عصر دانایی و انفجار فناوری اطلاعات و ارتباطات، تحرک و پویایی فراوان در تمامی زمینه‌ها را طلب می‌کند. لذا به کارگیری رویکردهای نوین تربیتی بسیار حائز اهمیت است.
ریاضیات بعنوان علمی که مادام‌العمر انسان بدان نیاز دارد و پیشرفت در زمینه‌های مختلف بدون آن امکان‌پذیر نمی‌باشد، باید که با این پویایی همسو گردد، تا اهداف مهم آن یعنی نظم فکری، ایجاد توانایی در درک مفهوم و نیز استفاده از یادگرفته‌ها در موقعیت‌های مشابه زندگی روزمره دانش‌آموز گسترش و تعمیم یابد.

لذا بررسی حاضر که به شیوه شبه‌آزمایشی با استفاده از گروه آزمایش و گواه می‌باشد. اثرات مثبت به کارگیری فعالتیهای مکمل و فوق برنامه را در ابعاد زیر با درصد بالا نشان می‌دهد.
این تحقیق به شرح جدول شماره ۱ می‌باشد.

شماره ۱
سؤالات تحقیق گروه گواه آزمایش
۱ ـ ایجاد علاقه به ریاضی ۳۵ ۷۰
۲ ـ بهبود یادگیری ۳۵ ۸۰
۳ ـ تعمیق یادگیری ۲۵ ۸۰
۴ ـ کاربرد یادگیری در موارد مشابه ۲۰ ۹۰

بنابراین استفاده از فعالیتهای مکمل و فوق‌برنامه در این تحقیق میزان بالایی از تحقق هدفهای آموزشی را به دنبال داشته است.

محدودیتها
این‌ بررسی‌ هر چند این‌ طرح‌ توسط‌ نگارنده‌ در طی‌ سالهای‌ متمادی‌ کار آموزشی‌ در سایر دروس‌ بهره‌ گرفته‌ شده‌ است و تأثیرات‌ آن‌ کاملاً محرز گردیده‌، امّا اجرای‌ این‌ طرح به‌ صورت ‌گسترده‌تری‌ در افزایش‌ روایی‌ و اعتبار آن‌ موثرتر است‌

پیشنهادات‌
۱ ـ به‌ فعالیتهای‌ مکمل‌ و فوق‌ برنامه‌ توجه‌ ویژه‌ شود و همچنین‌ ارتباط‌ این‌ فعالیتها با زندگی‌روزمره‌ دانش‌آموزان مورد نظر قرار گیرد.
۲ ـ تاکید بر تخمین‌ زدن‌ مسائل‌ مختلف‌ بعنوان‌ یک‌ فعالیت‌ زیرا که‌ به‌ اعتقاد “بوزان” «تخمین‌زدن‌ موجب‌ سرزندگی‌ و چالش‌ ذهن‌ می‌گردد و عضله‌ ذهن‌ را قبراق‌ و سرحال‌ نگه‌ می‌دارد.» (تونی‌،بوزان،‌ ص‌ ۱۹۵، ۱۳۸۰)

۳ ـ بهتر است‌ معلم‌ جهت‌ ایجاد انگیزه‌ و شور در کلاس‌ و در هر جلسه‌ یکی‌ از ریاضیدان‌ و کار آنهارا به‌ طور ساده‌ برای‌ دانش‌آموزان‌ بازگو نماید.
۴ ـ از دانش آموزان خواسته شود درباره‌ ریاضی‌ دانان‌ و کار آنها تحقیق‌ و بررسی‌ کنند و به‌ کلاس‌ گزارش‌ دهند که ‌این‌ امر موجب‌ علاقه‌ بیشتر آنها به‌ درس‌ ریاضی‌ خواهد شد.
۵ ـ معلم‌ فعالیتهای‌ مکمل‌ را با توجه‌ به‌ توانایی‌ها و خواسته‌های‌ دانش‌آموزان‌ و محیط‌ فرهنگی‌آنها طراحی‌ نماید.
۶ ـ زندگی‌ و کار ریاضیدان‌ بزرگ‌ کشور را همچون‌ خوارزمی‌، خیام‌، کاشانی‌، فارابی‌ و… را که‌ موجب‌فخر سرزمین‌ ما می‌باشند جهت‌ بر انگیختن‌ احساسات‌ و علاقه‌ دانش‌آموزان‌ به‌ درس‌ ریاضی‌ موردتوجه‌ و بازگویی‌ قرار دهد.
کاربرد ریاضی در معماری

پیر لوئیجی نروی

Pier Luigi Nervi
تولد در سوندریو لومباردی به سال ۱۸۹۱،مرگ در رم به سال ۱۹۷۹٫در سال ۱۹۱۳ در رشته مهندسی ساختمان از دانشگاه بولونا فارغ التحصیل شد.از ۱۹۴۶ تا ۱۹۶۱ استاد مهندسی سازه در دانشکده معماری رم بود.
مهندس محاسب و معمار بزرگی که ردیف” فوی ساینت” و”مایار” قرار داردکه در نتیجه ی تسلط برمحاسبات دقیق ریاضی در معماری به شیوه ی زیبا و حیرت انگیزی دست یافت و با فرم هایی که از طبیعت الهام می گرفت همراه با کاربرد تکنیکی مصالح،چشم اندازی موسیقایی در معماری به وجود آورد.او بارها و بارها در نوشته هایش،فرآیند خلاقه ی فرم را در یکسانی،چه در زمینه ی کارهای تکنیکی مهندسی و چه در زمینه های مختلف کارهای هنری به عنوان یک اصل می دانست.روشی که با استناد به آن زیبایی الگوی سازه ای تنها حاصل پی آمدهای روش های محاسباتی نیست،بلکه نوعی روش شهودی است که چگونگی کاربرد محاسباتی آن را معلوم می کند،و بدین ترتیب به آن هویت می بخشد.

نروی متخصص بتن آرمه بود.اولین پروژه ای که طراحی کرد ساختمان سینما ناپل بود که به سال ۱۹۲۷ ساخته شد.روش ساختاری این بنا در عمل رابطه ی بین فرم و عملکرد را به اثبات رساند(روندی که در آینده به نوعی با کژفهمی مواجه شد).این سبک و سیاق را نروی از طریق محاسبات سازه ای به دست آورد و آن را در معماری امری ضروری می دانست.اولین کار مهم او پروژه ی استادیم ورزشی فلورانس بود که در بین سالهای ۱۹۳۰ تا ۱۹۳۲ ساخته شد.پوشش ساده ای که شیوه ی نمایان سازه ای آن از اهمیت خاص برخوردار بود و در اغلب جراید به عنوان الگوی معماری قرن معرفی شد و حالت نمایشی شورانگیزآن با طراحی های لوکوربوزیه قابل

مقایسه بود که به نحوی بسیار صریح و روشن امکانات کاربری بتن آرمه را به نمایش درآورد.نروی با طراحی پروژه های آشیانه هواپیما اورویتو(۸-۱۹۳۵)و اوربتللو و همچنین ساختمان برج دل لاگو(۳-۱۹۴۰)،به مطالعه در زمینه ی روش های سقف پوسته ای شبکه تیرچه های باربر پرداخت.این شیوه ی ساختاری همواره به مثابه یک هدف ثابت دنبال شد و در تحقیقاتش گستره وسیع تری یافت ودر ابعاد بسیار عظیم به صور مختلف ادامه پیدا کرد ودر فرآیند خلاقه ی شخصی اش مورد استفاده قرار گرفت.با اجرای این پروژه های آشینه هواپیما (که تاکنون ویران شده اند)،نروی به فرآیند درخشان سازه ای خود مقام و منزلتی بخشید که در کل به زیبایی تکنیک ساختاری اش متکی بود.

در حدود ۱۹۴۰،به مطالعه تجربی در زمینه ی مقاومت فرم پرداخت،و به نتایج موفقیت آمیزی نایل شد؛روند اینترنشنال استیل بسیار نیرومندی که در پوشش سقفهای پوسته ای کاربرد داشت؛در کل جذبه های تکنیکی و شاکله ی بسیار زیبا از دستاوردهای عظیمش بود.این روش را در پوشش سقف تالار بزرگ نمایشگاه تورین به کاربرد(۹-۱۹۴۸)،که یکی از آثار ماندگار و از شاهکارهای

معماری قرن بیستم است،هرچند که این پروژه از طرف کسانی که وظیفه ی معماری را اهمیت عملکردی جزئیات داخلی آن می دانند،مورد برداشت های نادرستی واقع شد،در نتیجه ساختمان بسیار مهم وارزشمندی که نروی آن را در زمره ی مهمترین آثارش می دانست،تا حدودی مورد بی توجهی قرار گرفت.ساختمان عظیمی که شامل یک پوشش سازه ای بود که با اجزای پیش ساخته ی بتنی به حالت کج و موجی ساخته شد.

او چند ساختمان پوسته ای بتنی در ابعاد کوچکتر به اجرا درآورد،به نحوی که زیر سقف به طور کامل آزاد بود،بعضی از این پروژه ها پلان دایره ای شکل دارند،از جمله ساختمان کازینوی رم لیدو(۱۹۵۰) و ساختمان تالار اجتماعات و ضیافت “چیانچینو ترم” که بین سالهای ۱۹۵۰ تا ۱۹۵۲ ساخته شد.در همین زمان نیزبه تحقیقاتش در زمینه بتن آرمه ادامه داد،کاربرد قطعات پیش ساخته ی بتنی به صورت تولید انبوه را در رابطه با پوشش سقف سالن های نمایش به عنوان اختراع به ثبت رساند.این ابداع در انواع مختلف سازه های طاق تویزه پشت بنددار کاربرد داشت و همچنین به اغلب پروژه های خیالی و آرمان گرایانه قابلیت اجرایی داد.اختراع مهم دیگراو در عرصه تکنیک،سیستم

هیدرولیکی پیش کشیده ی بتن آرمه بود.به هیچ روی دست از تلاش و تحقیق بر نمیداشت.حتی با آزادی عمل هرچه بیشتر روش سازه ای اش را تکامل و بهبود بخشید،با ساده گرایی و سرعت در اجرا،به نحوی متفاوت به تحقیقاتش ادامه داد،شیوه ی ساختاری بسیار زیبایی که از المان های سازه ای ریتمیک تشکیل میشد.نمونه های شاخص این روش،ساختمان ورزش رم بود که با همکاری “آنیباله ویته لوزی”از سال ۱۹۵۶ تا ۱۹۵۷ به اجرا درآمد و مهم تر از همه ساختمان تالار کنفرانس یونسکو در پاریس (که با همکاری مارسل بروئه و زرفوس در فاصله سال های ۱۹۵۳ تا ۱۹۵۷ ساخته شد).

همچنین شبیه به ساختمان تالار کنفرانس پاریس_پوشش پوسته ای بسیار زیبا و پر وقاری که طراحی آن ملهم از پوشش پوسته صدف دریایی و بالهای حشرات و کاسبرگ گل ها بود-ساختمان آسمان خراش پیرلی را نیز با الهام از فرمهای موجود در طبیعت به فاصله ۱۹۵۵ تا ۱۹۵۸ در میلان با همکاری “جیو پونتی و چند معمار دیگر”به اجرا درآورد.این الگوی ساختمانی به صورت قطعاتی مجزا از هم تکامل یافت.
نروی مهارت خلاقه ی سازه ای اش را در ساختمان مرکز صنایع ملی پاریس (که در ۱۹۵۵ با همکاری ژان پرو طراحی شد)؛و نیز در ساختمان نمایشگاه دایره ای شکل کاراکاس (۱۹۵۶) و ساختمان کاخ دولاورو ،تورین(۱۹۶۱)و همچنین در تالار اجتماعات پاپ در واتیکان که در ۱۹۷۱ ساخته شد،به نمایش درآورد
تاریخچه:
سودوکو یا سادوکو مخفف عبارت ژاپنی “Suuji wa dokushin ni kagiru” به معنی عدد های بی تکرار است و نوعی جدول اعداد است که امروزه یکی از سرگرمی های رایج در کشورهای مختلف جهان بشمار می آید. سودوکو فقط یکی از نامهای این بازی است. در آمریکا این بازی به نام

“number place “مشهور است. گفته می شود که این بازی ریشه در چین باستان دارد و در قرن ۱۷ میلادی به اتریش برده شد و بعد از آن به بقیه اروپا و آمریکا راه پیدا کرده، بعد از گذشت زمان های طولانی در دهه ی۸۰ میلادی در مجله های تفریحی ظاهر شد. اما در جایی دیگر نیز آمده است که نخستین جدول سودوکو را یک ریاضیدان اروپایی در قرن هجدهم طراحی کرده است .

در سالهای گذشته این جدول کاربرد عمومی خود را برای سرگرمی پیدا کرده و خیلی ها را به خود معتاد کرده است. این روزها سودوکو سرگرمی بسیاری از مردم جهان شده است، کتاب های مجموعه این جدول ها نیز در نشریات کشورهای مختلف به چاپ می رسد و بسیاری از روزنامه های مترویی در کشور های غربی جدول سودوکو را در صفحات سرگرمی خود گنجانده اند. میزان

محبوبیت این بازی رو به گسترش به میزانی است که نسخه های نرم افزاری این بازی برای تلفن های همراه رواج پیدا کرده و حتی مسابقه های تلویزیونی حل سودوکو در کوتاه ترین زمان ممکن به راه افتاده است. این بازی در نمایشگاه بین المللی بازی و سرگرمی آلمان به عنوان محبوب ترین و پرطرفدارترین بازی شناخته شده است و همچنین قانون بسیار ساده و روشنی دارد.

قوانین بازی: ¼br> سودوکو انواع مختلف ساده ، متوسط ، دشوار و خیلی دشوار دارد و بس

ته به تعداد خانه های خالی دشوارتر می شود. بازی سودوکو را از سه جنبه می توان طبقه بندی نمود. یکی از این جنبه ها مرتبط است با ساختار فیزیکی جدول و تعداد خانه های آن که حالات متفاوتی را در بر می گیرد. مورد دیگر با اعمال قوانین مختلف در بعضی از جداول گوناگون، البته بدون تغییر در قوانین پایه ای و بنیادین این بازی در ارتباط می باشد. در نهایت جنبه سوم رتبه بندی این بازی از درجه آسان تا دشوار می باشد.

نوع متداول سودوکو در واقع نوعی جدول است که از ۹ ستون عمودی و ۹ ستون افقی تشکیل شده و کل جدول هم به ۹ بخش کوچکتر تقسیم میشود.
حالا شما باید اعداد ۱ تا ۹ را در هر یک از جدول های کوچکتر بدون تکرار بنویسید، به صورتی که در هر ستون بزرگتر افقی یا عمودی هیچ عددی تکرار نشود . در واقع هم باید از تمام اعداد ۱ تا ۹ در همه ستون های عمودی و افقی استفاده کنید و هم باید مراقب باشید هیچ عددی تکرار نشود و در همه مربع های ۳ ستونی کوچکتر نیز به همین ترتیب همه اعداد ۱ تا ۹ بیاید و تکرار نشود.

همیشه به عنوان راهنمایی چند عدد در جدول از قبل مشخص میشود تا بقیه اعداد را شما پیدا کنید .
روش حل:
ابتدا در تمام خانه های خالی جدول، اعداد را از یک تا نه می نویسیم.
سپس به سراغ یکی از اعدادی که از قبل توسط طراح نوشته شده می رویم و تمام اعداد مشابه آن را که در عرضش (بصورت افقی )قرار گرفته اند را پاک می کنیم و سپس یک خط افقی در بالای آن عدد می کشیم که مشخص باشد.

در این مرحله همانند مرحله قبل عمل می کنیم با این اختلاف که در تمام خانه های عمودی در بالا یا پایین عدد مورد نظر اعداد مشابه را پاک می کنیم وسپس با یک خط عمودی در کنار آن عدد آن را مشخص می نماییم .
اکنون باید اعداد مشابه عدد مورد نظر را در مربع نه خانه ای متناظر، پاک کنیم وعدد را با یک دایره بر دور آن مشخص کنیم.
فقط سه مرحله قبلی را در مورد تمام اعداد از قبل نوشته شده (اعداد چاپی) تکرار کنیم و کشیدن خطهای عمودی افقی و دایره را بر آن عددها نباید فراموش کنیم که این عمل می تواند به شما نشان دهد که کدام یک از قلم افتاده است.
وقتی که تمام اعداد چاپی با هر سه علامت مشخص شد کار ما تا این مرحله تمام شده است.
در این مرحله به دنبال خانه هایی می گردیم که فقط یک عدد در آنها باقی مانده و آن اعداد را پررنگ می کنیم.
ما باید در هر ستون نیز عددی را که فقط یکبار درآن ستون آمده را پیدا کنیم که این عدد یقینا جواب همان خانه است و این عدد را هم پررنگ کنیم.
اکنون در هر مربع نه خانه ای عددی را که فقط یکبار در این نه خانه آمده است را یافته و به عنوان جواب یادداشت می کنیم.
کاربرد مثلث در موسیقی

اهرام مصر
مثلث از ابتدایی ترین اشکال هندسی بوده که انسانها در هنر ازاون استفاده میکردند، بدون شک اولین نوع از انواع مثلث هم که در هنر از آن استفاده شده مثلث متساول الاضلاع بوده است. اهرام مصر نمونه بسیاری قدیمی (حدود ۲۸۰۰ سال پیش از میلاد) از کاربری مثلت در هنر معماری قدیم بوده است. نمونه های دیگر از استفاده از مثلث در هنر تمدن های قدیم را می تواند در کاشی کاری های دیواره معابد Pompeii در نپال نیز مشاهده کرد.

معروف هست تالس (۶۴۰-۵۵۰ سال پیش از میلاد) که پدر ریاضیات، نجوم و فلسفه یونان باستان بوده از شاگردان خود می خواهد که به مصر سفر کنند تا از پیشرفت علوم در آن تمدن اطلاعات لازم را کسب کنند و فیثاغورث (Pythagoras) از اولین افرادی بوده که این دستور را می پذیرد و به مصر سفر میکند. فیثاغورث از بنیانگذاران علمی موسیقی در جهان بوده و اغلب از هندسه برای مدل کردن استفاده می کرده، می خواهیم با استفاده از تجربیات او سلسه مطالبی را پیرامون ارتباط موسیقی با علوم هندسه، فیزیک و ریاضی آغاز کنیم.

مثلث متساول الاضلاع معادل یک آکورد افزوده
موسیقی را می توانیم به روشهای مختلف مدل کنیم برای شروع کار ساده ترین روش را انتخاب میکنم که عبارت است از مدل کردن عمودی موسیقی یاهمان هارمونی. این روش مدل کردن به موسیقیدان ها کمک می کند تا هنگام فکر یا گوش کردن به هارمونی تصویر بهتری از نت های موسیقی داشته باشند بخصوص برای نوازندگان سازغیر از پیانو.

یک دایره در نظر بگیرید و آنرا به دوازده قسمت مساوی (یک اکتاو کروماتیک) تقسیم کنید و نت ها را به ترتیب روی هر قسمت بنویسد مانند شکل. یکی از ساده ترین اشکال هندسی که در این دایره تقسیم شده می توان ساخت مثلت متساوی الاضلاع می باشد. که اگر آنرا بسازید و به آن دقت کنید تفسیر موسیقی آن یک آکورد افزوده خواهد بود. حتما” شنید که آکوردهای افزوده جدای

میدهد چرا که اگر راس بالایی مثلث را در جهت عقربه های ساعت حرکت دهیم تا رسیدن به نت E و انطباق دوباره روی خود، می تواند سه حالت دیگر را به خود بگیرد. همچنین به وضوح در شکل می توان دید که یک آکورد افزوده از سه فاصله (که در اینجا هرکدام یک ضلع مثلث هستند) یکسان معادل ۴ نیم پرده تشکیل شده است.

آکوردهای بزرگ، کوچک، sus2 و sus4
شما باز هم می توانید مثلث های دیگری درست کنید. به شکل بعدی نگاه کنید که آکوردهای دو ماژور و لا مینور را نمایش میدهد. این دو مثلث (آکورد) خصوصیات جالبی دارند اولا” اضلاع آنها باهم برابر است، ثانیا” نسبت به خطی که از D کشیده میشود و به G# خطم میشود متقارن می باشند، حتما” می دانید که مینور نسبی گام دو ماژور، لامینور می باشد. به این طریق شما می توانید یک روش ساده برای پیدا کردن گامهای مینور و ماژور نسبی پیدا کنید، هر چند اینکار در پیانو بخاطر وضوح دیداری که چیدمان نت ها وجود دارد ساده می باشد.

 

مثلث های متساوی الساقین هم جالب هستند یکی از آنها آکورد sus2 را تشکیل میدهد که در شکل مشاهده میکنید و همچنین میتوانید آکوردهای کاسته را نیز باز با یک مثلث متساوی الساقین درست کنید. اگر دقت کنید این مثلث متساوی الساقین حالت آکورد sus2 برای C و حالت آکورد sus4 برای G دارد. بنابراین می توان به ارتباط نزدیک آکوردهای sus در حالت های ۲ و ۴ برای فاصله های پنجم با یکدیگر پی برد. این نکته هم جالب خواهد بود اگر شما راس D در این مثلث را نسبت به راس C قرینه کنید به آکورد sus2 دیگری می رسید که یک پرده عقب تر است آکورد Csus4 قرار دارد.

شما می توانید دامنه مدل کردن را ادامه دهید و راجع به سایر مثلث ها فکر کنید، همچنین می توانید آکوردهای چهار صدایی را با انواع چهار ضلعی ها مدل کنید. سئوالی که پیش می آید این است که آیا هستند افرادی که با شنیدن موسیقی این اشکال در ذهن آنها نقش ببندد؟
ریاضیات راه حل کدام است
دیدگاه های نوین آموزش ریاضی بر اهمیت تفکر و استدلال ، شناخت مفاهیم ریاضی و چگونگی پردازش آنها و تاکید بر فراگیران به مثابه آحاد انسانی تاکید دارد. محققان در عرصه آموزش ریاضی میکوشند تا از منظر درون و برون ریاضی مقوله یاد دهی – یادگیری و حل مسئله را مورد مطالعه قرار دهند.

دیدگاه های نوین آموزش ریاضی بر اهمیت تفکر و استدلال ، شناخت مفاهیم ریاضی و چگونگی پردازش آنها و تاکید بر فراگیران به مثابه آحاد انسانی تاکید دارد. محققان در عرصه آموزش ریاضی میکوشند تا از منظر درون و برون ریاضی مقوله یاد دهی – یادگیری و حل مسئله را مورد مطالعه قرار دهند.
عدم آشنایی لازم با دانش ، آموزش ریاضی در کشور ، کمبود شدید نیروی متخصص با تحصیلات منظم در این رشته و ورود افراد غیر حرفه ای موجب شده است که این دانش در جایگاه مناسب خود قرار نگیرد و سرفصلهای غیر استاندارد و سلیقه ای بر دروس آموزش ریاضی حاکم و به تدریس کتابهای دبیرستانی در کلاسهای آموزش ریاضی بسنده شود.

بسیاری از فارغ التحصیلان دانشگاهی دوره های کارشناسی و بالاتر رشته‌های ریاضی که به رغم دانش نسبتا خوب ریاضی شان قادر به اداره کلاس درس و موفق در امر یاد دهی ریاضی نیستند و با آزمون و خطا تجربه لازم را بدست می آورند. در واقع باید اذعان کرد که ریاضی دانستن و برخورداری از دانش ریاضی یک مقوله است ، در حالی که تدریس ریاضیات مقوله ای دیگر. هرچند که این دو با یکدیگر در تعاملند.

در مقاله حاظر با طرح چند پرسش ، سعی شده است ؛ پاسخی برای آنها بیابم ؛ ولی اینکه آیا آن پاسخها درستند و شدنی ، خود پاسخی برای آن ندارم.ولی همین بس که ، با طرح این سؤالات ، پاره ای از مشکلات عمده ای که از آن به عنوان مشکلات درسی دانش آموز نام برده میشود آشکار میشود. به نظر من با حل مشکلات مورد اشاره در این مقاله ، حل دیگر مشکلات امر آموزش ریاضی سهل خواهد بود.پیشنهادات ارئه شده در این مقاله مورد بررسی و نقد است. ادعا نمیکنم که تمامی آنها شدنی و قابل اجرایند ولی مدعی قابل تامل بودن آنها هستم.

ریاضیات ؛ راه حل کدام است؟
ریاضیات نقش گسترده ای در زندگی آینده افراد داراست ، ریاضیات قادر است با اثر گذاری بر شخصیت انسان آنها را در برابر مشکلات آینده زندگی مقاوم تر کند. مطالعه ریاضیات و تفکر در مسائل ریاضی انسان را خلاق و پویا کرده و قادر است از او شخصیتی بسازد که بهتر در مورد مسائل روزمره زندگی خود استلال و تفکر کند.

آیا ما به عنوان یک مدرس ریاضیـات تـوانسته ایم این بعد ریاضی را به دانش‌آموزان خود آموزش دهیم ؟
آیا توانسته ایم به او بفهمانیم که میتواند فکر کند و او قادر است استدلال کند؟
گـویا تنهـا تـدریس ریـاضیات شده است ارائـه تعاریف ، مثالـهـا و حـل تمرینات‌ موجود ‌کتاب و … .
در ریاضیات دبیرستانی دانش آموز مایل است بداند که آنچه می خواند در کجای زندگی او کاربرد دارد ؟
آیا برای او پاسخی داریم؟ یا اینکه سؤال او و ما یکسان است !

چرا باید در کلاسهای خود به جبر ، ریاضی تدریس کنیم؟ چرا به جبر از آنها تمرین و پاسخ بخواهیم ؟
چرا او خود بدنبال یادگیری ریاضیات نیست و تنها این مائیم که با ترفندهای گوناگون او را مجبور به یادگیری و شاید حفظ کردن مفاهیم میکنیم.
چرا نباید متعلم داوطلبانه در فرایند یادگیری شرکت کند ؟
آیا راه کاری وجود دارد و یا راه کارها عملی هستند؟

در مقطع دبیرستان ، دانش آموز باید بر اهمیت ارتباط میان انتخابهای علمی و سایر انتخابهای دوران زندگی خود واقف شوند. این مسئله حیاتی است که مربیان ریاضی بکوشند تا باور دانش آموزان را نسبت به ارزش دانش ریاضی و کارامدی آن در جامعه تقویت ؛ و آنان را متقاعد سازند که توان و ظرفیت انجام فعالیتهای ریاضی را در حال و آینده دارند و به گونه ای پیوسته اطلاعات به روز و قابل اعتمادی را در عرصه مقولات زیر فراهم آورند.
۱ – چگونگی مرتبط ساختن آنچه دانش آموزان در ریاضی می آموزند با انتخابهای تحصیلی و شغلی آنان.

۲ – افـــزایش فرصتهایـی در زندگی دانش آموزان که در نتیجه مطالعات آینده در ریاضی برای آنان فراهم خواهد شد.
به عبارتی ، دوران دبیرستان میتواند فرصتهایی را برای تقویت و تثبیت مفاهیم و مهارتهای ریاضی دانش آموزان فراهم آورد که یادگیری های بعدی را در این عرصه ، به ویژه تحصیلات تخصصی دانشگاهی مرتبط با دانش و تجربه ، تسهیل سازد.
۳ – چـگونگی اتکا فـزاینده سایـر عرصه هـای علم و زندگی غیر ریاضیات و علوم
فیزیکی بر دانش ریاضی.
۴ – لازمه فارغ التحصیلی فراگیر از دبیرستان ، یادگیری موفقیت آمیز بخشهایی از
ریاضی است.

۵ – مشکلات مربوط به مرتبط ساختن ریاضیات متوسطه و دوران قبلـی ، ریاضـی
آموزش عالی و دنیای واقعی کار و حرفه است.
بنابراین همه کسانی که بگونه ای در امر تعلیم و تربیت ریاضی دخیل هستند، اعم از والدین ، مربیان و برنامه ریزان ، باید با یاری یکدیگر و هم اندیشی های سودمند بکوشند تا طرز تلقی ها ، ادراک و تصمیم سازی های فراگیران را در عرصه ریاضی شکل دهی و هدایت کنند. از مهمتریـن هدفهای آموزشی ریاضی ، آن گونه که NCTM و سایـر پـژوهشگــران اعلام کــرده اند ، ایـن است کـه انجمن دبیران ریاضی ، جهت کسب اطلاع بیشتر به سایت اینترنتی www.nctm.org مراجعه نمایید..دانش اندوزان بیاموزندکه برای ریاضیات ارزش قائل شوند و به کارایی آن در جریان زندگی و پرورش نیروی تفکر و استدلال و تحلیل واقف شوند. به علاوه ، نسبت به قابلیتها و ظرفیتهای خویش در انجام تکلیفهای ریاضی و موقعیتهای مختلف حل مسئله اعتماد و اطمینان یابند تا جایی که کار و تلاش در ریاضی برای آنان همچون عملی رضایت بخش و مسرت آفرین درآید ، نه عملی اضطراب زا و ملالت بار !
دیدگاه نوین آموزش ریاضی بر این مهم تاکید دارد که انتقال منفعلانه مفاهیم و مهارتهای ریاضی توسط معلمان ، یادگیری معنادار را برای فراگیران به همراه ندارد و هرگز موجب رشد و پویایی تفکر ریاضی نخواهد شد ، بلکه این فراگیران هستند که با مشارکت فعالشان در عرصه آموزش و

یادگیری ریاضی بر مبنای دانش و تجربه‌های پیشین خود ، ریاضیات را امری قابل فهم و لذت بخش می سازد . تولید، تثبیت و تقویت تفکر ریاضی برای فراگیران هنگامی روی می دهد که با هدایت معلم تلاش کنند خود در ساختن مفاهیم ، مهارتهای جدید ریاضی و نیل به آنها مشارکت موثر داشته باشند.
به گفته نوربرت وینر : “ هنر ریاضیات ، هنر درک پرسشهای درست است و قطعه اصلی کار در ریاضیـات تخیل است و آنچه ایـن قطعه اصـلـی را به حـرکت در می آورد ، منطق می باشد و امکان استدلال منطقی زمانی پدید می آید که ما پرسشهای خود را درست مطرح کرده باشیم. “ این

موضوع که چگونه فراگیران میتوانند دانش و تجربه های پیشین خود را در موقعیتهای جدید یادگیری به کار گیرند و با طرح پرسشهای مناسب در ساخت مفاهیم شرکت داشته باشد ، جای بحث و تالم بسیار دارد. در قلمروی کار ریاضی ، متخصصان با طرح نظریه هایی به این مهم پرداخته اند. اعجوبه آمریکایی که در سن هفده سالگی ار دانشگاه هاوارد دکترای ریاضی گرفت.ما می توانیم با برگـزاری همایشها و بـرنامه های علمی و استفاده از تجارب اساتید

دانشگاهی و متخصصان آموزش ریاضی و متبحران در علوم دیگر ( مانند علوم پایه ، علوم فنی و مهندسی و رشته ای علوم پزشکی و . . . ) این نظریات را بررسی کرد و بهترین راهکار را انتخاب کرده و در برنامه تدریس خود قرار دهیم.چنانچه در بالا گفته شد دانش آموز نقش بیشتری در امر آموزش ریاضی دارد و معلم تنها هدایت و نظم دهی به فرایند یادگیری را بر عهده دارد از اینرو می توان ؛ در سطح پایین تری ( محیط دبیرستان یا مراکز آموزشی ) با دعوت از صاحبان مشاغل مختلف که از ریاضیات بطور مستقیم یا غیر مستقیم در حرفه خود استفاده میکنند ( مانند طراحان ،

معماران ، مهندسان و متخصصان خط تولید کالا و . . . ) و حضور آنها در جمع دانش آموزان به این هدف تا اندکی دست یافت.در این جلسات دانش آموز قادر است برای برخی از پرسشهای خود پاسخی بیابد و هر پاسخ قدمی او را به ریاضیات نزدیکتر می کند.
مولفان کتب ریاضی دبیرستانی نیز میتوانند با گنجاندن مفاهیم کاربردی ریاضی به موازات بیان مطالب درسی ، معلم را در رسیدن به اهداف مورد نظر ، یاری کنند.دانش آموز ، کاربرد مطلب و مفهوم ریاضی را در یک امر عینی زندگی مشاهده میکند و او قادر است با این مثال عینی که خود آن را حل کرده است به آن مفهوم ریاضی نیز دست پیدا کند.

پیشنهـاد دیگری که در این راستا ارائه مــی شود تـالیف کـتـاب درسی با نام “کاربردهای ریاضی “ است که عمده مباحثی که باید در کتاب پیشنهادی به آن پرداخته شود عبارتند از:
الف ) کاربرد ریاضی در فیزیک
ب ) کاربرد ریاضی در شیمی
ج ) کاربرد ریاضی در صنعت
د ) کاربرد ریاضی در زندگی

با پرداختن به مباحث فوق در کتاب پیشنهاد شده قادر خواهیم بود ، دانش آموز را اندکی متوجه ریاضیات و کاربرد ریاضیات کنیم و به او یاد دهیم که دیگر کاربردهای ریاضی را ، خود بیابد.
می توانیم به دانش آموز غیر مستقیم بگوییم که “ مسائل ریاضی تنها تمرینات کتاب ریاضی نیست ؛ بلکه تمام پیرامون تو پر از مسائل ریاضی است . “دانش آموز یاد می گیرد مسئله طرح کند و برای یافتن پاسخ ، فکر کند و با یافتن پاسخش ، لحظاتی را شاد بگذراند.
به هر حال چنانچه اطلاعات عرضه شده به فراگیران در درس ریاضی به صورت قطعه های خبری مجزا ، ناپیوسته و گاه غیر مرتبط با هم دیده شوند ، انتظاری برای چنین مشارکتی نمی توان

داشت. به علاوه باید متوجه باشیم که یادگیری در ریاضی با سرعتی یکسان و هماهنگ در دانش آموزان یک کلاس درس اتفاق نمی‌افتد. از این رو ، یادگیری های انفعالی که به شتاب و به چگونگی یادگیری در افراد توجهی ندارد ، طبعا به بروز یادگیری های طوطی وار می انجامد. از سوی دیگر ، بسیاری از مشکلاتی که در نگرش به آموزش و یادگیری ریاضیات اتفاق می افتد ، به واقع ناشی از برداشتهای غلط در مورد طبیعت ریاضیات است. این مهم در ساختن باورهای فراگیر در عرصه کار و

ریاضی تاثیری قابل تامل دارد.معلمان و مدرسان درس ریاضی در کلاسهای درس خود همواره با دانش آموزانی مواجهند که در درک مفاهیم و تجزیه و تحلیل مسائل ریاضی مشکلات خاص خود را دارند ، و حتی گاهی آنان از دانستن ابتدایی ترین مفاهیم ریاضی نیز عاجزند.همچنین یکسان نبودن سطح درک ریاضی در کلاسها موجب ایجاد روشی ابداعی و غیر علمی از جانب مدرس ریاضی می شود که شاید مشکلات دانش آموزان ضعیف را چند برابر کند و گاهی اوقات ضربه ای غیر قابل جبران ( جسمی ، روانی و . . . ) به دانش آموز مستعد درک ریاضی وارد کند. این روشهای ابداعی ، تنها بر اساس شخصیت مدرس شکل میگیرد و همواره متناوب و بینظم است .کلاس درسی که از چنین روشهای تدریسی استفاده می شود ، بازدهی خوبی نداشته و دانش آموزان حاظر در چنین کلاسی همواره با تنشهای روانی مواجهند.
روانشناسان علاقمند به آموزش ریاضی می کوشند تا دریابند چگونه عاملهای گوناگون بر تفکر و رفتار ریاضی فراگیران موثرند و این سؤال که ریاضی گونه اندیشیدن به چه معناست ، در مرکزیت این مطالعه قرار گرفته است.چرا روانشناسان در فهم ما از اینکه مردم چگونه ریاضی را یاد می گیرند نقش فراوانی دارد؟ این پرسشی است که پاسخ آن هنوز برای بسیاری مبهم و ناشناخته است و به رغم برخی تلاشها در به کارگیری ابزار روان شناختی در تییین یادگیری و آموزش علوم از جمله ریاضیات ، می توان مدعی شد که هنوز اندکند کسانی که با نگرش روان شناختی در این عرصه تلاش می کنند.
عبارت روان شناسی یادگیری ریاضی نه تنها در میان مردم عادی ، بلکه در جمع معلمان و مربیان ریاضی ، به ویژه در جامعه ما ، چندان آشنایی نمی باشد. به علاوه، آنچه دانشجویان به ویژه در رشته های دبیری از مباحث روان شناختی می‌آموزند غالبا همچون مفاهیم کلی و بی ارتباط با

سایر شاخه های معرفت بشری از جمله علوم تجربی و ریاضیات برایشان جلوه گر می شود. از اینرو ارتباطی معنا‌دار بین دانسته های آنان در روان شناسی و تلاش در عرصه فراگیری ریاضی مشاهده نمی شود. مثلا دنشجویان در درس روان شناسی تربیتی با نظریه های مختلف یادگیری آشنا می شوند در حالیکه کمترین اطلاعی از کاربرد این الگوها در یادگیری و آموزش ریاضی و تدوین برنامه های درسی ندارند و نمیدانند که این الگو ها چگونه می تواند رفتار فراگیران را پیش بینی کند.

با برگزاری کلاسهای آموزشی کوتاه مدت ، قادریم مدرسان ریاضی را در ارائه روشهای برتر تدریس یاری کرد و با بهره گیری از دانش روان شناسان ، فرایند آموزش ریاضی را در این کلاسها بررسی و با ارائه راه کارهای علمی از افت شدید دانش آموزان جلوگیری کنیم.
اسکمپ می گوید: یادگیری و آموزش ریاضی از مقوله های روان شناختی است و ما پیشرفت قابل ملاحظه ای در ریاضی نخواهیم داشت ، مگر اینکه بدانیم ریاضی چگونه یاد گرفته می شود
ریاضیات ؛ راه حل کدام است؟
ریاضیات نقش گسترده ای در زندگی آینده افراد داراست ، ریاضیات قادر است با اثر گذاری بر شخصیت انسان آنها را در برابر مشکلات آینده زندگی مقاوم تر کند. مطالعه ریاضیات و تفکر در مسائل ریاضی انسان را خلاق و پویا کرده و قادر است از او شخصیتی بسازد که بهتر در مورد مسائل روزمره زندگی خود استلال و تفکر کند.

آیا ما به عنوان یک مدرس ریاضیـات تـوانسته ایم این بعد ریاضی را به دانش‌آموزان خود آموزش دهیم ؟
آیا توانسته ایم به او بفهمانیم که میتواند فکر کند و او قادر است استدلال کند؟
گـویا تنهـا تـدریس ریـاضیات شده است ارائـه تعاریف ، مثالـهـا و حـل تمرینات‌ موجود ‌کتاب و … .
در ریاضیات دبیرستانی دانش آموز مایل است بداند که آنچه می خواند در کجای زندگی او کاربرد دارد ؟
آیا برای او پاسخی داریم؟ یا اینکه سؤال او و ما یکسان است !
چرا باید در کلاسهای خود به جبر ، ریاضی تدریس کنیم؟ چرا به جبر از آنها تمرین و پاسخ بخواهیم ؟
چرا او خود بدنبال یادگیری ریاضیات نیست و تنها این مائیم که با ترفندهای گوناگون او را مجبور به یادگیری و شاید حفظ کردن مفاهیم میکنیم.
چرا نباید متعلم داوطلبانه در فرایند یادگیری شرکت کند ؟
آیا راه کاری وجود دارد و یا راه کارها عملی هستند؟

در مقطع دبیرستان ، دانش آموز باید بر اهمیت ارتباط میان انتخابهای علمی و سایر انتخابهای دوران زندگی خود واقف شوند. این مسئله حیاتی است که مربیان ریاضی بکوشند تا باور دانش آموزان را نسبت به ارزش دانش ریاضی و کارامدی آن در جامعه تقویت ؛ و آنان را متقاعد سازند که توان و ظرفیت انجام فعالیتهای ریاضی را در حال و آینده دارند و به گونه ای پیوسته اطلاعات به روز و قابل اعتمادی را در عرصه مقولات زیر فراهم آورند.

 

۱ – چگونگی مرتبط ساختن آنچه دانش آموزان در ریاضی می آموزند با انتخابهای تحصیلی و شغلی آنان.
۲ – افـــزایش فرصتهایـی در زندگی دانش آموزان که در نتیجه مطالعات آینده در ریاضی برای آنان فراهم خواهد شد.
به عبارتی ، دوران دبیرستان میتواند فرصتهایی را برای تقویت و تثبیت مفاهیم و مهارتهای ریاضی دانش آموزان فراهم آورد که یادگیری های بعدی را در این عرصه ، به ویژه تحصیلات تخصصی دانشگاهی مرتبط با دانش و تجربه ، تسهیل سازد.
۳ – چـگونگی اتکا فـزاینده سایـر عرصه هـای علم و زندگی غیر ریاضیات و علوم
فیزیکی بر دانش ریاضی.
۴ – لازمه فارغ التحصیلی فراگیر از دبیرستان ، یادگیری موفقیت آمیز بخشهایی از
ریاضی است.
۵ – مشکلات مربوط به مرتبط ساختن ریاضیات متوسطه و دوران قبلـی ، ریاضـی
آموزش عالی و دنیای واقعی کار و حرفه است.

بنابراین همه کسانی که بگونه ای در امر تعلیم و تربیت ریاضی دخیل هستند، اعم از والدین ، مربیان و برنامه ریزان ، باید با یاری یکدیگر و هم اندیشی های سودمند بکوشند تا طرز تلقی ها ، ادراک و تصمیم سازی های فراگیران را در عرصه ریاضی شکل دهی و هدایت کنند. از مهمتریـن هدفهای آموزشی ریاضی ، آن گونه که NCTM و سایـر پـژوهشگــران اعلام کــرده اند ، ایـن است کـه
انجمن دبیران ریاضی ، جهت کسب اطلاع بیشتر به سایت اینترنتی www.nctm.org مراجعه نمایید..
دانش اندوزان بیاموزندکه برای ریاضیات ارزش قائل شوند و به کارایی آن در جریان زندگی و پرورش نیروی تفکر و استدلال و تحلیل واقف شوند. به علاوه ، نسبت به قابلیتها و ظرفیتهای خویش در انجام تکلیفهای ریاضی و موقعیتهای مختلف حل مسئله اعتماد و اطمینان یابند تا جایی که کار و تلاش در ریاضی برای آنان همچون عملی رضایت بخش و مسرت آفرین درآید ، نه عملی اضطراب زا و ملالت بار !

دیدگاه نوین آموزش ریاضی بر این مهم تاکید دارد که انتقال منفعلانه مفاهیم و مهارتهای ریاضی توسط معلمان ، یادگیری معنادار را برای فراگیران به همراه ندارد و هرگز موجب رشد و پویایی تفکر ریاضی نخواهد شد ، بلکه این فراگیران هستند که با مشارکت فعالشان در عرصه آموزش و یادگیری ریاضی بر مبنای دانش و تجربه‌های پیشین خود ، ریاضیات را امری قابل فهم و لذت بخش می سازد . تولید، تثبیت و تقویت تفکر ریاضی برای فراگیران هنگامی روی می دهد که با هدایت معلم تلاش کنند خود در ساختن مفاهیم ، مهارتهای جدید ریاضی و نیل به آنها مشارکت موثر داشته باشند.

به گفته نوربرت وینر : “ هنر ریاضیات ، هنر درک پرسشهای درست است و قطعه اصلی کار در ریاضیـات تخیل است و آنچه ایـن قطعه اصـلـی را به حـرکت در می آورد ، منطق می باشد و امکان استدلال منطقی زمانی پدید می آید که ما پرسشهای خود را درست مطرح کرده باشیم. “
این موضوع که چگونه فراگیران میتوانند دانش و تجربه های پیشین خود را در موقعیتهای جدید یادگیری به کار گیرند و با طرح پرسشهای مناسب در ساخت مفاهیم شرکت داشته باشد ، جای بحث و تالم بسیار دارد. در قلمروی کار ریاضی ، متخصصان با طرح نظریه هایی به این مهم پرداخته اند.

اعجوبه آمریکایی که در سن هفده سالگی ار دانشگاه هاوارد دکترای ریاضی گرفت.
ما می توانیم با برگـزاری همایشها و بـرنامه های علمی و استفاده از تجارب اساتید
دانشگاهی و متخصصان آموزش ریاضی و متبحران در علوم دیگر ( مانند علوم پایه ، علوم فنی و مهندسی و رشته ای علوم پزشکی و . . . ) این نظریات را بررسی کرد و بهترین راهکار را انتخاب کرده و در برنامه تدریس خود قرار دهیم.

چنانچه در بالا گفته شد دانش آموز نقش بیشتری در امر آموزش ریاضی دارد و معلم تنها هدایت و نظم دهی به فرایند یادگیری را بر عهده دارد از اینرو می توان ؛ در سطح پایین تری ( محیط دبیرستان یا مراکز آموزشی ) با دعوت از صاحبان مشاغل مختلف که از ریاضیات بطور مستقیم یا غیر مستقیم در حرفه خود استفاده میکنند ( مانند طراحان ، معماران ، مهندسان و متخصصان خط تولید کالا و . . . ) و حضور آنها در جمع دانش آموزان به این هدف تا اندکی دست یافت.
در این جلسات دانش آموز قادر است برای برخی از پرسشهای خود پاسخی بیابد و هر پاسخ قدمی او را به ریاضیات نزدیکتر می کند.

مولفان کتب ریاضی دبیرستانی نیز میتوانند با گنجاندن مفاهیم کاربردی ریاضی به موازات بیان مطالب درسی ، معلم را در رسیدن به اهداف مورد نظر ، یاری کنند.
دانش آموز ، کاربرد مطلب و مفهوم ریاضی را در یک امر عینی زندگی مشاهده میکند و او قادر است با این مثال عینی که خود آن را حل کرده است به آن مفهوم ریاضی نیز دست پیدا کند.
پیشنهـاد دیگری که در این راستا ارائه مــی شود تـالیف کـتـاب درسی با نام “کاربردهای ریاضی “ است که عمده مباحثی که باید در کتاب پیشنهادی به آن پرداخته شود عبارتند از:
الف ) کاربرد ریاضی در فیزیک

ب ) کاربرد ریاضی در شیمی
ج ) کاربرد ریاضی در صنعت
د ) کاربرد ریاضی در زندگی
با پرداختن به مباحث فوق در کتاب پیشنهاد شده قادر خواهیم بود ، دانش آموز را اندکی متوجه ریاضیات و کاربرد ریاضیات کنیم و به او یاد دهیم که دیگر کاربردهای ریاضی را ، خود بیابد.
می توانیم به دانش آموز غیر مستقیم بگوییم که “ مسائل ریاضی تنها تمرینات کتاب ریاضی نیست ؛ بلکه تمام پیرامون تو پر از مسائل ریاضی است . “
دانش آموز یاد می گیرد مسئله طرح کند و برای یافتن پاسخ ، فکر کند و با یافتن پاسخش ، لحظاتی را شاد بگذراند.

به هر حال چنانچه اطلاعات عرضه شده به فراگیران در درس ریاضی به صورت قطعه های خبری مجزا ، ناپیوسته و گاه غیر مرتبط با هم دیده شوند ، انتظاری برای چنین مشارکتی نمی توان داشت. به علاوه باید متوجه باشیم که یادگیری در ریاضی با سرعتی یکسان و هماهنگ در دانش آموزان یک کلاس درس اتفاق نمی‌افتد. از این رو ، یادگیری های انفعالی که به شتاب و به چگونگی یادگیری در افراد توجهی ندارد ، طبعا به بروز یادگیری های طوطی وار می انجامد. از سوی دیگر ، بسیاری از مشکلاتی که در نگرش به آموزش و یادگیری ریاضیات اتفاق می افتد ، به واقع ناشی از برداشتهای غلط در مورد طبیعت ریاضیات است. این مهم در ساختن باورهای فراگیر در عرصه کار و ریاضی تاثیری قابل تامل دارد.

معلمان و مدرسان درس ریاضی در کلاسهای درس خود همواره با دانش آموزانی مواجهند که در درک مفاهیم و تجزیه و تحلیل مسائل ریاضی مشکلات خاص خود را دارند ، و حتی گاهی آنان از دانستن ابتدایی ترین مفاهیم ریاضی نیز عاجزند.
همچنین یکسان نبودن سطح درک ریاضی در کلاسها موجب ایجاد روشی ابداعی و غیر علمی از جانب مدرس ریاضی می شود که شاید مشکلات دانش آموزان ضعیف را چند برابر کند و گاهی اوقات ضربه ای غیر قابل جبران ( جسمی ، روانی و . . . ) به دانش آموز مستعد درک ریاضی وارد کند. این روشهای ابداعی ، تنها بر اساس شخصیت مدرس شکل میگیرد و همواره متناوب و بینظم است .
کلاس درسی که از چنین روشهای تدریسی استفاده می شود ، بازدهی خوبی نداشته و دانش آموزان حاظر در چنین کلاسی همواره با تنشهای روانی مواجهند.
روانشناسان علاقمند به آموزش ریاضی می کوشند تا دریابند چگونه عاملهای گوناگون بر تفکر و رفتار ریاضی فراگیران موثرند و این سؤال که ریاضی گونه اندیشیدن به چه معناست ، در مرکزیت این مطالعه قرار گرفته است.

چرا روانشناسان در فهم ما از اینکه مردم چگونه ریاضی را یاد می گیرند نقش فراوانی دارد؟ این پرسشی است که پاسخ آن هنوز برای بسیاری مبهم و ناشناخته است و به رغم برخی تلاشها در به کارگیری ابزار روان شناختی در تییین یادگیری و آموزش علوم از جمله ریاضیات ، می توان مدعی شد که هنوز اندکند کسانی که با نگرش روان شناختی در این عرصه تلاش می کنند.
عبارت روان شناسی یادگیری ریاضی نه تنها در میان مردم عادی ، بلکه در جمع معلمان و مربیان ریاضی ، به ویژه در جامعه ما ، چندان آشنایی نمی باشد. به علاوه، آنچه دانشجویان به ویژه در

رشته های دبیری از مباحث روان شناختی می‌آموزند غالبا همچون مفاهیم کلی و بی ارتباط با سایر شاخه های معرفت بشری از جمله علوم تجربی و ریاضیات برایشان جلوه گر می شود. از اینرو ارتباطی معنا‌دار بین دانسته های آنان در روان شناسی و تلاش در عرصه فراگیری ریاضی مشاهده نمی شود. مثلا دنشجویان در درس روان شناسی تربیتی با نظریه های مختلف یادگیری آشنا می شوند در حالیکه کمترین اطلاعی از کاربرد این الگوها در یادگیری و آموزش ریاضی و تدوین برنامه های درسی ندارند و نمیدانند که این الگو ها چگونه می تواند رفتار فراگیران را پیش بینی کند.

با برگزاری کلاسهای آموزشی کوتاه مدت ، قادریم مدرسان ریاضی را در ارائه روشهای برتر تدریس یاری کرد و با بهره گیری از دانش روان شناسان ، فرایند آموزش ریاضی را در این کلاسها بررسی و با ارائه راه کارهای علمی از افت شدید دانش آموزان جلوگیری کنیم.
اسکمپ می گوید: یادگیری و آموزش ریاضی از مقوله های روان شناختی است و ما پیشرفت قابل ملاحظه ای در ریاضی نخواهیم داشت ، مگر اینکه بدانیم ریاضی چگونه یاد گرفته می شود.

مارپیچ‌های طبیعی فرما،
شما تو درساتون منحنی‌ها و توابع مختلف رو دیدین ولی آیا می‌دونید اونا از کجا اومدن؟
می‌دونستید می‌شه با توجه به ساختار یه گل آفتاب گردون مدل‌های ریاضی جالبی رسم کرد؟
تعدادی از ریاضیدانان اومدن و مدل نوعی گل آفتاب گردون با گلبرگ‌های سفید و پرچم‌ها ریز زرد رنگ رسم کردن
.
پرچم‌های استوانه‌ای این گل بسیار منظم درکنار هم چیده‌ شدن. هر چی از مرکز گل دور می‌شن بزرگتر می‌شن. آنها به صورت یک مارپیچ از مرکز گل تا ابتدای گلبرگها ادامه دارن جهت چرخش این مارپیچ از داخل به بیرون ساعتگرد یا در بعضی طرح‌ها پادساعتگرد می‌باشد.

یک روش برای مدل‌سازی آن اینست که مارپیچ را به وسیله‌ی یک منحنی به نام مارپیچ فِرما رسم کنیم. این منحنی به نام مارپیچ سهمی‌گون هم شناخته شده. معادله‌ی آن از معادله قطبی گرفته شده.
r = k a1/2
در اینجا r فاصله از مبدأ، k مقداریست ثابت که نشان‌‌دهنده‌ی مقدار پیچش منحنی می‌باشد و a زاویه قطبیست.

با قرار دادن نقاط به جای خطوط منحنی شما می‌توانید طرح دیگری از این مارپیچ داشته باشید. مدل‌های مختلف را با توجه به زاویه‌های که پرچمها می‌سازند رسم می‌کنیم. در شرایط مختلف از طرحهای مختلف استفاده می‌کنیم. از زاویه ۲۲۲٫۴۹ برای مدل‌سازی استفاده کنید.اگر شما برای مدل‌سازی از گروه زوج تایی از گوشه‌ها یا دوایر متحدالمرکز استفاده کنید بسیار شبیه پرچم‌های آفتاب‌گردون می‌شود.

با انتخاب زوایای دیگه شما می‌تونید طرح‌های مختلف که به صورت ساعت‌گرد یا پاد ساعت‌گرد می‌باشند رو داشته باشید که البته تمام این طرحها به نوعی با هم در ارتباطند. روبرت دیکسون تعدادی از این طرح‌ها رو در کتاب خودش به نام mathographics آورده.
روبرت کروزیک (Krawczyk)از شیکاگو طرحهایی شبیه موج مدل‌سازی کرده و با ترکیب همون طرح‌ها، مدل‌های جدیدی بدست آورده که شبیه شکل‌های زیره.

سپس وی با قرار دادن نقاط به جای گوشه‌ها و منحنی‌ها طرح مشکل و متفاوتی رو بدست آورده.(به این شکل قت رسم شکل و زاویه‌هایش بالا می‌ره.)

در پایان هم با بیشتر کردن بافت طرحش و نشون دادن پیچ و تابهای منحنی طرحش رو به اتمام می‌رسونه.
کاربرد ریاضی در موسیقی
شاید تا حالا فکر کرده باشید ریاضی در چیزای خشک و بی مزه است اما باید بگوییم که در اشتباهید. ریاضی در اینجا خود را با آلات موسیقی قاطی کرده. حالا ریاضیات را در این آلت می بینید.
مثلث از ابتدایی ترین اشکال هندسی بوده که انسانها در هنر ازاون استفاده میکردند، بدون شک اولین نوع از انواع مثلث هم که در هنر از آن استفاده شده مثلث متساول الاضلاع بوده است. اهرام مصر نمونه بسیاری قدیمی (حدود ۲۸۰۰ سال پیش از میلاد) از کاربری مثلت در هنر معماری قدیم بوده است. نمونه های دیگر از استفاده از مثلث در هنر تمدن های قدیم را می تواند در کاشی کاری های دیواره معابد Pompeii در نپال نیز مشاهده کرد.

معروف هست تالس (۶۴۰-۵۵۰ سال پیش از میلاد) که پدر ریاضیات، نجوم و فلسفه یونان باستان بوده از شاگردان خود می خواهد که به مصر سفر کنند تا از پیشرفت علوم در آن تمدن اطلاعات لازم را کسب کنند و فیثاغورث (Pythagoras) از اولین افرادی بوده که این دستور را می پذیرد و به مصر سفر میکند. فیثاغورث از بنیانگذاران علمی موسیقی در جهان بوده و اغلب از هندسه برای مدل کردن استفاده می کرده، می خواهیم با استفاده از تجربیات او سلسه مطالبی را پیرامون ارتباط موسیقی با علوم هندسه، فیزیک و ریاضی آغاز کنیم.

موسیقی را می توانیم به روشهای مختلف مدل کنیم برای شروع کار ساده ترین روش را انتخاب میکنم که عبارت است از مدل کردن عمودی موسیقی یاهمان هارمونی. این روش مدل کردن به موسیقیدان ها کمک می کند تا هنگام فکر یا گوش کردن به هارمونی تصویر بهتری از نت های موسیقی داشته باشند بخصوص برای نوازندگان سازغیر از پیانو.
یک دایره در نظر بگیرید و آنرا به دوازده قسمت مساوی (یک اکتاو کروماتیک) تقسیم کنید و نت ها را به ترتیب روی هر قسمت بنویسد مانند شکل. یکی از ساده ترین اشکال هندسی که در این دایره تقسیم شده می توان ساخت مثلت متساوی الاضلاع می باشد. که اگر آنرا بسازید و به آن

دقت کنید تفسیر موسیقی آن یک آکورد افزوده خواهد بود. حتما” شنید که آکوردهای افزوده جدای از اینکه معکوس باشند یا نه چهار حالت بیشتر نیستند که دایره فوق این موضوع را بسادگی نمایش میدهد چرا که اگر راس بالایی مثلث را در جهت عقربه های ساعت حرکت دهیم تا رسیدن به نت E و انطباق دوباره روی خود، می تواند سه حالت دیگر را به خود بگیرد. همچنین به وضوح در شکل می توان دید که یک آکورد افزوده از سه فاصله (که در اینجا هرکدام یک ضلع مثلث هستند) یکسان معادل ۴ نیم پرده تشکیل شده است.

شما باز هم می توانید مثلث های دیگری درست کنید. به شکل بعدی نگاه کنید که آکوردهای دو ماژور و لا مینور را نمایش میدهد. این دو مثلث (آکورد) خصوصیات جالبی دارند اولا” اضلاع آنها باهم برابر است، ثانیا” نسبت به خطی که از D کشیده میشود و به G# خطم میشود متقارن می باشند، حتما” می دانید که مینور نسبی گام دو ماژور، لامینور می باشد. به این طریق شما می توانید یک روش ساده برای پیدا کردن گامهای مینور و ماژور نسبی پیدا کنید، هر چند اینکار در پیانو بخاطر وضوح دیداری که چیدمان نت ها وجود دارد ساده می باشد.
مثلث های متساوی الساقین هم جالب هستند یکی از آنها آکورد sus2 را تشکیل میدهد که در شکل مشاهده میکنید و همچنین میتوانید آکوردهای کاسته را نیز باز با یک مثلث متساوی الساقین درست کنید. اگر دقت کنید این مثلث متساوی الساقین حالت آکورد sus2 برای C و حالت آکورد sus4 برای G دارد. بنابراین می توان به ارتباط نزدیک آکوردهای sus در حالت های ۲ و ۴ برای فاصله های پنجم با یکدیگر پی برد. این نکته هم جالب خواهد بود اگر شما راس D در این مثلث را نسبت به راس C قرینه کنید به آکورد sus2 دیگری می رسید که یک پرده عقب تر است آکورد Csus4 قرار دارد.
شما می توانید دامنه مدل کردن را ادامه دهید و راجع به سایر مثلث ها فکر کنید، همچنین می توانید آکوردهای چهار صدایی را با انواع چهار ضلعی ها مدل کنید. سئوالی که پیش می آید این است که آیا هستند افرادی که با شنیدن موسیقی این اشکال در ذهن آنها نقش ببندد؟

ریاضیات مهندسی:
بررسی های فوریه:
مقدمه: تفکیک یک تابع به چند جزء مختلف و یا بسط آن به یک سری گسترده از توابع دارای بورد کاربردی مختلف در ریاضی و فیزیک است، یکی از این موارد بسط توابع برحسب مجموعه ای از توابع هارمونیک مثلثاتی با فرکانسها و دامنه ای مختلف است. در این فصل ضمن آشنایی قدم به قدم به اصول این روش با کاربردهای حاصل از آن نیز آشنا می شویم.
۱-۱- توابع متناوب: اگر شکل تابع در فواصل منظم تکرار شود آنرا تناوب گوئیم.

در مورد یک تابع متناوب می توان نوشت:
(۱) f (x+T) = f(x)
در این رابطه f تابعی از متغیر x و دوره تناوب T می باشد.
براساس این تعریف ملاحظه می شود که اگر g,f توبام هم پریود باشند، تابعی که به صورت زیر تعریف می شود نیز با آنها هم پریود است.
(۲) h = f + g

sin و cos از جمله توابع متناوبند.
Sin x 2
Cos x
مثال: دوره تناوب Sin x + 3 Cos x چقدر است؟
Sin x 2
Cos x 
بنابراین دوره تناوب تابع مذکور ۲ می باشد.
به این ترتیب دوره تناوب مجموعه ای توابع به صورت زیر برابر ۲ خواهد بود.
(۳)f(x)=a.+a1cosx+a2cos2x+…+anconx+b.+b1sinx+b2Sin2x+…+bnSinx
در بخشهای بعد دیده می شود که می توان برای تابعی با دوره تناوب ۲ ضمن محاسبه ظرائب a1 تا a2 یک سری مثلثاتی مثل رابطه (۳) پیدا کرد.
مثال: کوچکترین دوره تناوب توابع زیر را بدست آورید:
الف) sinx ب) sin2x ج) sin2x د)
T=2 T= T=1 T=T
هـ) sin2nx و) ز)
T=1/x T=T/n T=4
ح) ط) ۳sin4x+cos4x
T=12 T=/۴
۱-۲- توابع متاعد:
دو تابع f و g را در فاصله (a,b) عمود بر هم گوئیم هرگاه داشته باشیم:

که به اختصار آنرا به صورت (f.g)=0 نمایش می دهیم. براین اساس:
(Cosmx, Sin nx)=0
(Sin mx, Sin nx)=0
(Cos mx, Sin mx)=0

در فاصله (۰,۲) تمام این توابع بر هم عمود هستند.

توابع تناوب را اعم از اینکه دارای دوره تناوب ۲ باشد یا نباشد می توان برحسب توابع هامونیک cos, sin نوشت. بسط حاصل از تفکیک یک تابع به اجزاء هارمونیکی یک سری فوریه می گوئیم. اکنون به معرفی سری فوریه می گوئیم.
۱-۳-۱- بسط توابع دوره تناوب ۲
تابعی را با دوره تناوب ۲ در نظر بگیرید. این تابع را با سری مثلثاتی رابطه (۳) می توان جایگزین کرد یعنی می توان نوشت:

برای اثبات این ادعا لازم است ضرائب a0، an و bn را محاسبه کنیم. محاسبه این ضرائب با توجه به خاصیت متعاصر تابع های هارمونیکی قابل انجام است.
مثلا برای محاسبه an طرفین رابطه (۸) را در cosx ضرب نموده و سپس انتگرال گیری نمائیم.

+

۱-۳-۱- بسط تابع با دوره تناوب ۲v

ضرائب a0، an و bn =؟
برای محاسبه a0 از طرفین T- تا T انتگرال می گوییم

برای تعیین ضرائب جملات کسینوسی طرفین را در Cosmx ضرب می کنیم و از –T تا T
انتگرال می گیریم.

تمامی جملات به جز جمله در حالتی که n,m باشد برابر صفرند و در حالت n,m مستقر برابر ۲n است

برای تعیین جملات سینوسی، طرفین در Sinx ضرب

تمامی جملات بجز آنهم زمانی که m، n است برابر صفرند و در حالت m، n این جمله برابر 

: ضرائب فوریه

مثال: سری فوریه را برای تابع زیر بیابید:
-<x<0 -k
F(x)=
0<x< k
a0=0

n فرد باشد ۲
۱-cos=
n زوج باشد ۰
B4=0 63=4k/3 b2=0 61=4k/
F(x)=4k/(sinx+1/3sinx+1/5sin5x+…)
۱-۳-۲- بسط توابع با دوره تناوب دلخواه:
تابعی مانند fT(t) را که در یک تناوب در فاصله (۴/ و ۴/-) واقع شده را در نظر بگیرید. با تغییر متغیر T/2t= x تابعی به صورت f(x) بدست می آید که دارای دوره تناوب ۲ است.
۴/T  =t متناظر است با   = x
برای تابع f(x) با دوره تناوب ۲ سری فوریه بدست آورده شد. اگر به جای x در این رابطه متناظرش را قرار دهیم:

مثال: برای موج سینوسی با فرکانس w که در قسمت منفی آن حذف شده است، بسط فوریه را بدست آورید:

-/w<t<0 0
F(t)=
0<t</w E0sinwt

n=1 E0/2
bn= به همین ترتیب
n۱ ۰

مثال: مطلوبست محاسبه بسط فوریه که در فاصله (-۲,۲) به صورت زیر تعریف شده است:
f(t)= 4-t2 -2<t<2
T= 4

=

۴ را ازاین رابطه محاسبه کنید:
تمرین: برای توابع زیر که دارای دوره تناوب ۲ هستند و در فاصله (۱ و ۱-) تعریف شده اند سری فوریه را بیابید:
f(x)= Sgn (x)(الف
f(x)= U (x)(ب
f(x)= x(ج
f(x) = x (و
f(x)= x2(هـ
f(x)= Sinx(و
قضیه: سری فوریه یک تابع متناوب یکی است. بنابراین از هر روشی که به سری فوریه یک تابع برسیم، در تابع یک سری فوریه منحصر به فرد برای یک تابع متناوب خواهیم داشت.
۱-۴- توابع زوج و فرد و یک سری فوریه
f(-x) = f(x) : تابع زوج
f (-x)= – f(x): تابع فرد
سایر توابع نه زوج و نه فرد هستند. مانند ex یا ۱+x
اگر O(x) یک تابع فرد و E(x) یک تابع زوج و f(x) نه زوج و نه فرد باشد آنگاه:
o1+o2=o3

E1+E2=E3
O+E=f
O1-O2=E
O1.E=O2
E1.E2=E3
این خصوصیات هیچ شباهتی به خاصیت اعداد زوج و فرد ندارد.
براساس تعریف تابع های زوج و فرد توابع Sinx و Cosx به ترتیب فرد و زوج محسوب می شوند.
اگر f(t) تابعی زوج باشد T/ f(t) cos 2nt یک تابع زوج است.
بنابراین ضرائب an به این صورت محاسبه می شوند:

f(t). Sin 2nt/T یک تابع زوج * یک تابع فرد فرد bn برابر صفر است

به همین صورت اگر f(t) فرد باشد
قضیه: ضرائب فوریه مجموعه ۲f + 1f برابر با مجموعهای ضرائب متناظر ۱f و ۲f هستند و ضرائب فوریه cf برابر C ضرب در ضرائب فوریه متناظر f هستند.
مثال: بسط فوریه تابع متناوب f(x)= +x که در یک دوره تناوب در فاصله (-,) است را بدست آورید.
T= 2

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
word قابل ویرایش - قیمت 12700 تومان در 74 صفحه
127,000 ریال – خرید و دانلود
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد