بخشی از مقاله
نقش فعاليتهاي مكمل و فوق‌برنامه در بهبود يادگيري درس رياضي
از عوامل موثري كه در بهبود درس رياضي ميتواند اثربخش باشد فعاليتهاي مكمل و فوق برنامه است كه قسمتي از فرايند تدريس فعال و پوياست. اين فعاليتها را مي‌توان به گونه‌اي در تدريس طراحي نمود كه فرصت انديشيدن، حل مساله، ايجاد انگيزه و تثبيت يادگيري را به دنبال داشته باشد. تجارب نگارنده در بررسي‌هاي گوناگون ]و بررسي حاضر[ خصوصاً در درس رياضي حاكي از
اين امر است كه اين فعاليتها، هم چون كاربرد يادگيري در محيط و فضاي پيرامون دانش‌آموز، مانند، خانه، مسجد، پارك و نيز اجراي نمايش از زندگي دانشمندان رياضي و... همگي به خوبي خواهند توانست در تحقق اهداف مهم رياضي ياريگر معلم باشند. روش تحقيق در اين بررسي، شبه‌آزمايشي با استفاده از گروه گواه و آزمايش مي‌باشد.
واژه‌هاي كليدي: فعاليت مكمل، فوق‌برنامه، اهميت رياضي، اهداف رياضي در ابتدايي
مقدّمه:
بهبود مسائل تعليم و تربيت، به بلنداي تاريخ زندگي بشر همواره از دغدغه‌هاي او بوده است.
رويكردهاي نوين تربيتي بر ديدگاه فعال و توسعه يافته بنا شده است تا توانايي همگامي بافناوري و ارتباطات نوين را داشته باشد.
يادگيري عميق موضوعات دروس كمك به پرورش شهرونداني خواهد كرد كه ابعاد مختلف توانايي‌هاي آنان همچون، خود شكوفايي، خلاقيت و استدلال... شكوفا شده باشد.
فعاليتهاي مكمل و فوق برنامه بعنوان قسمتي از تدريس فعال بايد به گونه‌اي طراحي گردد كه يادگيري موضوعات در زندگي روزمره دانش‌آموزان به كار آيد. اين فعاليتهاي قادر است در تمام‌دروس از جمله رياضي كارآيي بالايي داشته باشد و در صورت اجرايي صحيح افراد پرسشگر ومحقق و خلاقي بسازد.
استفاده از اين فعاليتها در دوره ابتدايي به لحاظ اينكه دانش‌آموزان در سن جامعه پذيري قراردارند و در اين زمان به دروني سازي ارزشها و علائق و مهارتها مي‌پردازنند بسيار مهم‌تر است.
بايد اذعان كرد كه آموزش درس رياضي همواره به لحاظ ماهيت به ظاهر خشك آن با مشكلات زيادي روبه‌رو بوده است و همين امر لزوم استفاده از فعاليتهاي گوناگون را بيشتر مي‌سازد.
لذا مقاله حاضر در صدد بيان تأثير فعاليتهاي مكمل و فوق برنامه و اثرات آن بر بهبود يادگيري دانش‌آموزان در درس رياضي مي‌باشد.
اهميت و اهداف رياضي در دوره‌ي ابتدايي:
آموزش درست درس رياضي ميتواند نگاهي دقيق و منطقي به مسائل ومجهولات دنياي پررمزوراز علمي و غير علمي را به انسانها بياموزد همچنين راههاي استنباط و كسب تجربه هاي‌گوناگون را در ايشان تقويت كند. «رياضيات زبان علم است و ميتواند ابتكار و نوآوري و خلاقيت را دردانش‌آموزان تقويت كند.» (سلطاني، 1379)
«موريس، كلاس» عقيده دارد، «رياضيات عالي‌ترين دستاورد انديشه و اصيل‌ترين‌زاده ذهن آدم است و مجموعه همه ارزشهاست. (شهرياري به نقل از موريس، كلاس، 1385)
«پوليا» هم مهم‌ترين نقش رياضي را توسعه تفكر مي‌داند و هدف عمومي تدريس رياضي را توسعه عادت‌هاي خوب ذهني مي‌داند (پوليا، 1380).
بنابراين اگر اهداف رياضي برآورده شود. ابعاد گوناگون‌وجودي افراد شكوفا مي‌گردد.
اهداف رياضي در دوره‌ي ابتدايي:
1 ـ پرورش نظم فكري و درست انديشيدن
2 ـ ايجاد توانايي در محاسبات عددي در زندگي روزمره و محاسبات ذهني و تخمين زدن
3 ـ ايجاد توانايي درك مفهوم رياضي و ارتباط آن با مسائل روزمره (فرزان، 1372، ص 2)
فعاليتهاي مكمل و فوق برنامه:
عوامل بسيار ميتوانند روند يادگيري را تسهيل و تعميق نمايند يكي از اين عوامل بهره‌گيري از فعاليتها مكمل وفوق برنامه است.
«فعاليتهاي مكمل به فعاليتهاي اطلاق مي‌شود به منظور تثبيت و تعميق كاركرد عملي در طول سال تحصيلي» (فضلي خاني و همكاران، 1382)
«فعاليتهاي فوق برنامه نيز مجموعهاي از فعاليتها و تجارب دانش‌آموزان است كه به خارج از حيطه‌كلاس درس مربوط مي‌گردد». (چكيده مقالات جايگاه فاليتهاي مكمل و فوق برنامه، 1384)
«فعاليت مكمل موجب بهبود و تعميق يادگيري و ايجاد فرصت براي انديشيدن و تمرين مهارت‌هاست. هر چند غير از موارد كتاب است ولي در راستاي آن مي‌باشد» (رحيمي، 1383)
اين فعاليتهاي بعنوان قسمتي از فرايند تدريس اگر به درستي طراحي و همسو با اهداف درس باشند موجب حل مساله و بروز خلاقيت و علاقمندي به درس رياضي در دانش‌آموزان خواهند شد. و اگر با زندگي روزمره و واقعي كودك مرتبط گردد ذهن او را به چالش واداشته و يادگيري‌ها را دراو عميق‌تر مي‌نمايد بنابراين معلم بعنوان مدير يادگيري «فرصت هايي جهت اينكه كودكان شخصاًيادگيري در كلاس خود را در بيرون از كلاس هم تجربه كنند بايد بدهد» (گنجي، 74)
«شوان» هم معتقد است كه، هيچ نظريه‌اي نمي‌تواند كاملاً توضيح دهنده ي پويايي عمل باشد، دانستن اين كه كودكان در كلاس چه ياد گرفته‌اند مهم نيست، بلكه مهارتهاي عملي آنها در كاربرد مهم است». (شوان، 1979)، فعاليتهاي مكمل فرصتهايي به دانش‌آموزان جهت خودآموزي و يادگيري چيزهايي كه آموخته‌اند مي‌دهد.
فعاليتهاي همچون تعيين مساحت و محيط فضاي زندگي دانش‌آموزان (خانه، مسجد ،پارك و...) وگزارش به كلاس و گفتگو درباره آن به عميق‌تر شدن يادگيري و علاقمندي به درس رياضي كه به مناسبت ماهيت ظاهراً خشك آن مورد علاقه بسياري از دانش‌آموزان نيست خواهد شد. و اضطراب آنان را نيز تقليل مي‌دهد «بابليان» هم معقد است كه «يادگيرندگان اگر يك مفهوم از فرا گرفته باشندبايد در مواقع لزوم به نحوي موثر از آن استفاده مي‌نمايند» (بابليان، 1383)
فعاليتهاي مكمل و فوق برنامه به طور غير مستقيم موجب ماندگاري يادگيري مي‌شوند «الگوريتم‌هايي كه در جريان فعاليتهاي محصلين ابداع مي‌گردد جهت اتكا به نفس آنها در حل مسائل رياضي و باور خودشان بسيار مهم است.» (كرامتي، 1381، ص193)
«پستالوژي» هم معتقداست كه دانش‌آموزان بايد از وسايل ملموس و آشنا به محيط پيرامون خودكه با واقعيات زندگي آنها تطبيق دارد در يادگيري استفاده نمايند» (مفيدي، 1382 ص 88)
با توجه به مطالب ارائه شده نگارنده نيز در محيط آموزش خود به بررسي نقش فعاليتهاي مكمل وفوق برنامه پرداخته است. تا تاثيرات اين فعاليتها را برعوامل خاص (سؤالات اين بررسي) دريابد.
اهداف اين بررسي عبارت است از نقش فعاليتهاي مكمل و فوق برنامه بر ايجاد علاقه نسبت به درس رياضي، بهبوديادگيري، تعميق‌يادگيري در درس رياضي، استفاده از يادگرفته‌ها درموقعيتهاي مشابه.
روش:
روش اين بررسي شبه آزمايشي مي‌باشد، با استفاده از گروه گواه و آزمايش در يك كلاس دو پايه(چهارم، پنجم) مي‌باشد.
پايه چهارم بعنوان گروه آزمايش كه اين فعاليتها در مورد آنان اجرا و انجام گرديد و در پايه پنجم بعنوان گروه گواه اجرا نشد
ابراز گردآوري اطلاعات، اجراي فعاليتهاي مكمل و فوق‌برنامه تجزيه و تحليل آن و مقايسه گروه گواه و آزمايش بود. شيوه تحليل اطلاعات استفاده از درصدها، فراواني و جدول‌ها بود گروه مورد آزمايش وگواه تمامي دانش‌آموزان هر دو پايه با تعداد 20 نفر بودند.
نتايج حاصل از اين بررسي در تمامي موارد حاكي از تأثيرات مثبت و نقش فعاليتهاي مكمل وفوق برنامه بر مواردي بود كه در اهداف بررسي مطرح شده بود كه در جدول هسيتوگرام منعكس مي‌باشد.
نمودار شماره 1 ـ هيستوگرام
ميزان درصد نقش فعاليتهاي مكمل و فوق برنامه بر سوالات تحقيق
نتيجه‌گيري:
عصر دانايي و انفجار فناوري اطلاعات و ارتباطات، تحرك و پويايي فراوان در تمامي زمينه‌ها را طلب ميكند. لذا به كارگيري رويكردهاي نوين تربيتي بسيار حائز اهميت است.
رياضيات بعنوان علمي كه مادام‌العمر انسان بدان نياز دارد و پيشرفت در زمينه‌هاي مختلف بدون آن امكان‌پذير نمي‌باشد، بايد كه با اين پويايي همسو گردد، تا اهداف مهم آن يعني نظم فكري، ايجاد توانايي در درك مفهوم و نيز استفاده از يادگرفته‌ها در موقعيتهاي مشابه زندگي روزمره دانش‌آموز گسترش و تعميم يابد.
لذا بررسي حاضر كه به شيوه شبه‌آزمايشي با استفاده از گروه آزمايش و گواه مي‌باشد. اثرات مثبت به كارگيري فعالتيهاي مكمل و فوق برنامه را در ابعاد زير با درصد بالا نشان مي‌دهد.
اين تحقيق به شرح جدول شماره 1 مي‌باشد.
شماره 1
سؤالات تحقيق گروه گواه آزمايش
1 ـ ايجاد علاقه به رياضي 35 70
2 ـ بهبود يادگيري 35 80
3 ـ تعميق يادگيري 25 80
4 ـ كاربرد يادگيري در موارد مشابه 20 90
بنابراين استفاده از فعاليتهاي مكمل و فوق‌برنامه در اين تحقيق ميزان بالايي از تحقق هدفهاي آموزشي را به دنبال داشته است.
محدوديتها
اين بررسي هر چند اين طرح توسط نگارنده در طي سالهاي متمادي كار آموزشي در ساير دروس بهره گرفته شده است و تأثيرات آن كاملاً محرز گرديده، امّا اجراي اين طرح به صورت گسترده‌تري در افزايش روايي و اعتبار آن موثرتر است
پيشنهادات
1 ـ به فعاليتهاي مكمل و فوق برنامه توجه ويژه شود و همچنين ارتباط اين فعاليتها با زندگي‌روزمره دانش‌آموزان مورد نظر قرار گيرد.
2 ـ تاكيد بر تخمين زدن مسائل مختلف بعنوان يك فعاليت زيرا كه به اعتقاد "بوزان" «تخمين‌زدن موجب سرزندگي و چالش ذهن مي‌گردد و عضله ذهن را قبراق و سرحال نگه مي‌دارد.» (توني،بوزان، ص 195، 1380)
3 ـ بهتر است معلم جهت ايجاد انگيزه و شور در كلاس و در هر جلسه يكي از رياضيدان و كار آنهارا به طور ساده براي دانش‌آموزان بازگو نمايد.
4 ـ از دانش آموزان خواسته شود درباره رياضي دانان و كار آنها تحقيق و بررسي كنند و به كلاس گزارش دهند كه اين امر موجب علاقه بيشتر آنها به درس رياضي خواهد شد.
5 ـ معلم فعاليتهاي مكمل را با توجه به توانايي‌ها و خواسته‌هاي دانش‌آموزان و محيط فرهنگي‌آنها طراحي نمايد.
6 ـ زندگي و كار رياضيدان بزرگ كشور را همچون خوارزمي، خيام، كاشاني، فارابي و... را كه موجب‌فخر سرزمين ما مي‌باشند جهت بر انگيختن احساسات و علاقه دانش‌آموزان به درس رياضي موردتوجه و بازگويي قرار دهد.
کاربرد ریاضی در معماری
پیر لوئیجی نروی
Pier Luigi Nervi
تولد در سوندریو لومباردی به سال 1891،مرگ در رم به سال 1979.در سال 1913 در رشته مهندسی ساختمان از دانشگاه بولونا فارغ التحصیل شد.از 1946 تا 1961 استاد مهندسی سازه در دانشکده معماری رم بود.
مهندس محاسب و معمار بزرگی که ردیف" فوی ساینت" و"مایار" قرار داردکه در نتیجه ی تسلط برمحاسبات دقیق ریاضی در معماری به شیوه ی زیبا و حیرت انگیزی دست یافت و با فرم هایی که از طبیعت الهام می گرفت همراه با کاربرد تکنیکی مصالح،چشم اندازی موسیقایی در معماری به وجود آورد.او بارها و بارها در نوشته هایش،فرآیند خلاقه ی فرم را در یکسانی،چه در زمینه ی کارهای تکنیکی مهندسی و چه در زمینه های مختلف کارهای هنری به عنوان یک اصل می دانست.روشی که با استناد به آن زیبایی الگوی سازه ای تنها حاصل پی آمدهای روش های محاسباتی نیست،بلکه نوعی روش شهودی است که چگونگی کاربرد محاسباتی آن را معلوم می کند،و بدین ترتیب به آن هویت می بخشد.
نروی متخصص بتن آرمه بود.اولین پروژه ای که طراحی کرد ساختمان سینما ناپل بود که به سال 1927 ساخته شد.روش ساختاری این بنا در عمل رابطه ی بین فرم و عملکرد را به اثبات رساند(روندی که در آینده به نوعی با کژفهمی مواجه شد).این سبک و سیاق را نروی از طریق محاسبات سازه ای به دست آورد و آن را در معماری امری ضروری می دانست.اولین کار مهم او پروژه ی استادیم ورزشی فلورانس بود که در بین سالهای 1930 تا 1932 ساخته شد.پوشش ساده ای که شیوه ی نمایان سازه ای آن از اهمیت خاص برخوردار بود و در اغلب جراید به عنوان الگوی معماری قرن معرفی شد و حالت نمایشی شورانگیزآن با طراحی های لوکوربوزیه قابل
مقایسه بود که به نحوی بسیار صریح و روشن امکانات کاربری بتن آرمه را به نمایش درآورد.نروی با طراحی پروژه های آشیانه هواپیما اورویتو(8-1935)و اوربتللو و همچنین ساختمان برج دل لاگو(3-1940)،به مطالعه در زمینه ی روش های سقف پوسته ای شبکه تیرچه های باربر پرداخت.این شیوه ی ساختاری همواره به مثابه یک هدف ثابت دنبال شد و در تحقیقاتش گستره وسیع تری یافت ودر ابعاد بسیار عظیم به صور مختلف ادامه پیدا کرد ودر فرآیند خلاقه ی شخصی اش مورد استفاده قرار گرفت.با اجرای این پروژه های آشینه هواپیما (که تاکنون ویران شده اند)،نروی به فرآیند درخشان سازه ای خود مقام و منزلتی بخشید که در کل به زیبایی تکنیک ساختاری اش متکی بود.
در حدود 1940،به مطالعه تجربی در زمینه ی مقاومت فرم پرداخت،و به نتایج موفقیت آمیزی نایل شد؛روند اینترنشنال استیل بسیار نیرومندی که در پوشش سقفهای پوسته ای کاربرد داشت؛در کل جذبه های تکنیکی و شاکله ی بسیار زیبا از دستاوردهای عظیمش بود.این روش را در پوشش سقف تالار بزرگ نمایشگاه تورین به کاربرد(9-1948)،که یکی از آثار ماندگار و از شاهکارهای
معماری قرن بیستم است،هرچند که این پروژه از طرف کسانی که وظیفه ی معماری را اهمیت عملکردی جزئیات داخلی آن می دانند،مورد برداشت های نادرستی واقع شد،در نتیجه ساختمان بسیار مهم وارزشمندی که نروی آن را در زمره ی مهمترین آثارش می دانست،تا حدودی مورد بی توجهی قرار گرفت.ساختمان عظیمی که شامل یک پوشش سازه ای بود که با اجزای پیش ساخته ی بتنی به حالت کج و موجی ساخته شد.
او چند ساختمان پوسته ای بتنی در ابعاد کوچکتر به اجرا درآورد،به نحوی که زیر سقف به طور کامل آزاد بود،بعضی از این پروژه ها پلان دایره ای شکل دارند،از جمله ساختمان کازینوی رم لیدو(1950) و ساختمان تالار اجتماعات و ضیافت "چیانچینو ترم" که بین سالهای 1950 تا 1952 ساخته شد.در همین زمان نیزبه تحقیقاتش در زمینه بتن آرمه ادامه داد،کاربرد قطعات پیش ساخته ی بتنی به صورت تولید انبوه را در رابطه با پوشش سقف سالن های نمایش به عنوان اختراع به ثبت رساند.این ابداع در انواع مختلف سازه های طاق تویزه پشت بنددار کاربرد داشت و همچنین به اغلب پروژه های خیالی و آرمان گرایانه قابلیت اجرایی داد.اختراع مهم دیگراو در عرصه تکنیک،سیستم
هیدرولیکی پیش کشیده ی بتن آرمه بود.به هیچ روی دست از تلاش و تحقیق بر نمیداشت.حتی با آزادی عمل هرچه بیشتر روش سازه ای اش را تکامل و بهبود بخشید،با ساده گرایی و سرعت در اجرا،به نحوی متفاوت به تحقیقاتش ادامه داد،شیوه ی ساختاری بسیار زیبایی که از المان های سازه ای ریتمیک تشکیل میشد.نمونه های شاخص این روش،ساختمان ورزش رم بود که با همکاری "آنیباله ویته لوزی"از سال 1956 تا 1957 به اجرا درآمد و مهم تر از همه ساختمان تالار کنفرانس یونسکو در پاریس (که با همکاری مارسل بروئه و زرفوس در فاصله سال های 1953 تا 1957 ساخته شد).
همچنین شبیه به ساختمان تالار کنفرانس پاریس_پوشش پوسته ای بسیار زیبا و پر وقاری که طراحی آن ملهم از پوشش پوسته صدف دریایی و بالهای حشرات و کاسبرگ گل ها بود-ساختمان آسمان خراش پیرلی را نیز با الهام از فرمهای موجود در طبیعت به فاصله 1955 تا 1958 در میلان با همکاری "جیو پونتی و چند معمار دیگر"به اجرا درآورد.این الگوی ساختمانی به صورت قطعاتی مجزا از هم تکامل یافت.
نروی مهارت خلاقه ی سازه ای اش را در ساختمان مرکز صنایع ملی پاریس (که در 1955 با همکاری ژان پرو طراحی شد)؛و نیز در ساختمان نمایشگاه دایره ای شکل کاراکاس (1956) و ساختمان کاخ دولاورو ،تورین(1961)و همچنین در تالار اجتماعات پاپ در واتیکان که در 1971 ساخته شد،به نمایش درآورد
تاریخچه:
سودوکو یا سادوکو مخفف عبارت ژاپنی “Suuji wa dokushin ni kagiru” به معنی عدد های بی تکرار است و نوعی جدول اعداد است که امروزه یکی از سرگرمی های رایج در کشورهای مختلف جهان بشمار می آید. سودوکو فقط یکی از نامهای این بازی است. در آمريكا این بازی به نام
“number place “مشهور است. گفته می شود که این بازی ریشه در چین باستان دارد و در قرن ۱۷ میلادی به اتریش برده شد و بعد از آن به بقیه اروپا و آمريكا راه پیدا کرده، بعد از گذشت زمان های طولانی در دهه ی۸۰ میلادی در مجله های تفریحی ظاهر شد. اما در جایی دیگر نیز آمده است که نخستین جدول سودوکو را یک ریاضیدان اروپایی در قرن هجدهم طراحی کرده است .
در سالهای گذشته این جدول کاربرد عمومی خود را برای سرگرمی پیدا کرده و خیلی ها را به خود معتاد کرده است. این روزها سودوکو سرگرمی بسیاری از مردم جهان شده است، کتاب های مجموعه این جدول ها نیز در نشریات کشورهای مختلف به چاپ می رسد و بسیاری از روزنامه های مترویی در کشور های غربی جدول سودوکو را در صفحات سرگرمی خود گنجانده اند. میزان
محبوبیت این بازی رو به گسترش به میزانی است که نسخه های نرم افزاری این بازی برای تلفن های همراه رواج پیدا کرده و حتی مسابقه های تلویزیونی حل سودوکو در کوتاه ترین زمان ممکن به راه افتاده است. این بازی در نمایشگاه بین المللی بازی و سرگرمی آلمان به عنوان محبوب ترین و پرطرفدارترین بازی شناخته شده است و همچنین قانون بسیار ساده و روشنی دارد.
قوانین بازی: ¼br> سودوکو انواع مختلف ساده ، متوسط ، دشوار و خیلی دشوار دارد و بس
ته به تعداد خانه های خالی دشوارتر می شود. بازی سودوکو را از سه جنبه می توان طبقه بندی نمود. یکی از این جنبه ها مرتبط است با ساختار فیزیکی جدول و تعداد خانه های آن که حالات متفاوتی را در بر می گیرد. مورد دیگر با اعمال قوانین مختلف در بعضی از جداول گوناگون، البته بدون تغییر در قوانین پایه ای و بنیادین این بازی در ارتباط می باشد. در نهایت جنبه سوم رتبه بندی این بازی از درجه آسان تا دشوار می باشد.
نوع متداول سودوکو در واقع نوعی جدول است که از ۹ ستون عمودی و ۹ ستون افقی تشکیل شده و کل جدول هم به ۹ بخش کوچکتر تقسیم میشود.
حالا شما باید اعداد ۱ تا ۹ را در هر یک از جدول های کوچکتر بدون تکرار بنویسید، به صورتی که در هر ستون بزرگتر افقی یا عمودی هیچ عددی تکرار نشود . در واقع هم باید از تمام اعداد ۱ تا ۹ در همه ستون های عمودی و افقی استفاده کنید و هم باید مراقب باشید هیچ عددی تکرار نشود و در همه مربع های ۳ ستونی کوچکتر نیز به همین ترتیب همه اعداد ۱ تا ۹ بیاید و تکرار نشود.
همیشه به عنوان راهنمایی چند عدد در جدول از قبل مشخص میشود تا بقیه اعداد را شما پیدا کنید .
روش حل:
ابتدا در تمام خانه های خالی جدول، اعداد را از یک تا نه می نویسیم.
سپس به سراغ یکی از اعدادی که از قبل توسط طراح نوشته شده می رویم و تمام اعداد مشابه آن را که در عرضش (بصورت افقی )قرار گرفته اند را پاک می کنیم و سپس یک خط افقی در بالای آن عدد می کشیم که مشخص باشد.
در این مرحله همانند مرحله قبل عمل می کنیم با این اختلاف که در تمام خانه های عمودی در بالا یا پایین عدد مورد نظر اعداد مشابه را پاک می کنیم وسپس با یک خط عمودی در کنار آن عدد آن را مشخص می نماییم .
اکنون باید اعداد مشابه عدد مورد نظر را در مربع نه خانه ای متناظر، پاک کنیم وعدد را با یک دایره بر دور آن مشخص کنیم.
فقط سه مرحله قبلی را در مورد تمام اعداد از قبل نوشته شده (اعداد چاپی) تکرار کنیم و کشیدن خطهای عمودی افقی و دایره را بر آن عددها نباید فراموش کنیم که این عمل می تواند به شما نشان دهد که کدام یک از قلم افتاده است.
وقتی که تمام اعداد چاپی با هر سه علامت مشخص شد کار ما تا این مرحله تمام شده است.
در این مرحله به دنبال خانه هایی می گردیم که فقط یک عدد در آنها باقی مانده و آن اعداد را پررنگ می کنیم.
ما باید در هر ستون نیز عددی را که فقط یکبار درآن ستون آمده را پیدا کنیم که این عدد یقینا جواب همان خانه است و این عدد را هم پررنگ کنیم.
اکنون در هر مربع نه خانه ای عددی را که فقط یکبار در این نه خانه آمده است را یافته و به عنوان جواب یادداشت می کنیم.
کاربرد مثلث در موسیقی
اهرام مصر
مثلث از ابتدایی ترین اشکال هندسی بوده که انسانها در هنر ازاون استفاده میکردند، بدون شک اولین نوع از انواع مثلث هم که در هنر از آن استفاده شده مثلث متساول الاضلاع بوده است. اهرام مصر نمونه بسیاری قدیمی (حدود 2800 سال پیش از میلاد) از کاربری مثلت در هنر معماری قدیم بوده است. نمونه های دیگر از استفاده از مثلث در هنر تمدن های قدیم را می تواند در کاشی کاری های دیواره معابد Pompeii در نپال نیز مشاهده کرد.
معروف هست تالس (640-550 سال پیش از میلاد) که پدر ریاضیات، نجوم و فلسفه یونان باستان بوده از شاگردان خود می خواهد که به مصر سفر کنند تا از پیشرفت علوم در آن تمدن اطلاعات لازم را کسب کنند و فیثاغورث (Pythagoras) از اولین افرادی بوده که این دستور را می پذیرد و به مصر سفر میکند. فیثاغورث از بنیانگذاران علمی موسیقی در جهان بوده و اغلب از هندسه برای مدل کردن استفاده می کرده، می خواهیم با استفاده از تجربیات او سلسه مطالبی را پیرامون ارتباط موسیقی با علوم هندسه، فیزیک و ریاضی آغاز کنیم.
مثلث متساول الاضلاع معادل یک آکورد افزوده
موسیقی را می توانیم به روشهای مختلف مدل کنیم برای شروع کار ساده ترین روش را انتخاب میکنم که عبارت است از مدل کردن عمودی موسیقی یاهمان هارمونی. این روش مدل کردن به موسیقیدان ها کمک می کند تا هنگام فکر یا گوش کردن به هارمونی تصویر بهتری از نت های موسیقی داشته باشند بخصوص برای نوازندگان سازغیر از پیانو.
یک دایره در نظر بگیرید و آنرا به دوازده قسمت مساوی (یک اکتاو کروماتیک) تقسیم کنید و نت ها را به ترتیب روی هر قسمت بنویسد مانند شکل. یکی از ساده ترین اشکال هندسی که در این دایره تقسیم شده می توان ساخت مثلت متساوی الاضلاع می باشد. که اگر آنرا بسازید و به آن دقت کنید تفسیر موسیقی آن یک آکورد افزوده خواهد بود. حتما" شنید که آکوردهای افزوده جدای
میدهد چرا که اگر راس بالایی مثلث را در جهت عقربه های ساعت حرکت دهیم تا رسیدن به نت E و انطباق دوباره روی خود، می تواند سه حالت دیگر را به خود بگیرد. همچنین به وضوح در شکل می توان دید که یک آکورد افزوده از سه فاصله (که در اینجا هرکدام یک ضلع مثلث هستند) یکسان معادل 4 نیم پرده تشکیل شده است.
آکوردهای بزرگ، کوچک، sus2 و sus4
شما باز هم می توانید مثلث های دیگری درست کنید. به شکل بعدی نگاه کنید که آکوردهای دو ماژور و لا مینور را نمایش میدهد. این دو مثلث (آکورد) خصوصیات جالبی دارند اولا" اضلاع آنها باهم برابر است، ثانیا" نسبت به خطی که از D کشیده میشود و به G# خطم میشود متقارن می باشند، حتما" می دانید که مینور نسبی گام دو ماژور، لامینور می باشد. به این طریق شما می توانید یک روش ساده برای پیدا کردن گامهای مینور و ماژور نسبی پیدا کنید، هر چند اینکار در پیانو بخاطر وضوح دیداری که چیدمان نت ها وجود دارد ساده می باشد.
مثلث های متساوی الساقین هم جالب هستند یکی از آنها آکورد sus2 را تشکیل میدهد که در شکل مشاهده میکنید و همچنین میتوانید آکوردهای کاسته را نیز باز با یک مثلث متساوی الساقین درست کنید. اگر دقت کنید این مثلث متساوی الساقین حالت آکورد sus2 برای C و حالت آکورد sus4 برای G دارد. بنابراین می توان به ارتباط نزدیک آکوردهای sus در حالت های 2 و 4 برای فاصله های پنجم با یکدیگر پی برد. این نکته هم جالب خواهد بود اگر شما راس D در این مثلث را نسبت به راس C قرینه کنید به آکورد sus2 دیگری می رسید که یک پرده عقب تر است آکورد Csus4 قرار دارد.
شما می توانید دامنه مدل کردن را ادامه دهید و راجع به سایر مثلث ها فکر کنید، همچنین می توانید آکوردهای چهار صدایی را با انواع چهار ضلعی ها مدل کنید. سئوالی که پیش می آید این است که آیا هستند افرادی که با شنیدن موسیقی این اشکال در ذهن آنها نقش ببندد؟
ریاضیات راه حل کدام است
دیدگاه های نوین آموزش ریاضی بر اهمیت تفكر و استدلال ، شناخت مفاهیم ریاضی و چگونگی پردازش آنها و تاكید بر فراگیران به مثابه آحاد انسانی تاكید دارد. محققان در عرصه آموزش ریاضی میكوشند تا از منظر درون و برون ریاضی مقوله یاد دهی – یادگیری و حل مسئله را مورد مطالعه قرار دهند.
دیدگاه های نوین آموزش ریاضی بر اهمیت تفكر و استدلال ، شناخت مفاهیم ریاضی و چگونگی پردازش آنها و تاكید بر فراگیران به مثابه آحاد انسانی تاكید دارد. محققان در عرصه آموزش ریاضی میكوشند تا از منظر درون و برون ریاضی مقوله یاد دهی – یادگیری و حل مسئله را مورد مطالعه قرار دهند.
عدم آشنایی لازم با دانش ، آموزش ریاضی در كشور ، كمبود شدید نیروی متخصص با تحصیلات منظم در این رشته و ورود افراد غیر حرفه ای موجب شده است كه این دانش در جایگاه مناسب خود قرار نگیرد و سرفصلهای غیر استاندارد و سلیقه ای بر دروس آموزش ریاضی حاكم و به تدریس كتابهای دبیرستانی در كلاسهای آموزش ریاضی بسنده شود.
بسیاری از فارغ التحصیلان دانشگاهی دوره های كارشناسی و بالاتر رشته‌های ریاضی كه به رغم دانش نسبتا خوب ریاضی شان قادر به اداره كلاس درس و موفق در امر یاد دهی ریاضی نیستند و با آزمون و خطا تجربه لازم را بدست می آورند. در واقع باید اذعان كرد كه ریاضی دانستن و برخورداری از دانش ریاضی یك مقوله است ، در حالی كه تدریس ریاضیات مقوله ای دیگر. هرچند كه این دو با یكدیگر در تعاملند.
در مقاله حاظر با طرح چند پرسش ، سعی شده است ؛ پاسخی برای آنها بیابم ؛ ولی اینكه آیا آن پاسخها درستند و شدنی ، خود پاسخی برای آن ندارم.ولی همین بس كه ، با طرح این سؤالات ، پاره ای از مشكلات عمده ای كه از آن به عنوان مشكلات درسی دانش آموز نام برده میشود آشكار میشود. به نظر من با حل مشكلات مورد اشاره در این مقاله ، حل دیگر مشكلات امر آموزش ریاضی سهل خواهد بود.پیشنهادات ارئه شده در این مقاله مورد بررسی و نقد است. ادعا نمیكنم كه تمامی آنها شدنی و قابل اجرایند ولی مدعی قابل تامل بودن آنها هستم.
ریاضیات ؛ راه حل كدام است؟
ریاضیات نقش گسترده ای در زندگی آینده افراد داراست ، ریاضیات قادر است با اثر گذاری بر شخصیت انسان آنها را در برابر مشكلات آینده زندگی مقاوم تر كند. مطالعه ریاضیات و تفكر در مسائل ریاضی انسان را خلاق و پویا كرده و قادر است از او شخصیتی بسازد كه بهتر در مورد مسائل روزمره زندگی خود استلال و تفكر كند.
آیا ما به عنوان یك مدرس ریاضیـات تـوانسته ایم این بعد ریاضی را به دانش‌آموزان خود آموزش دهیم ؟
آیا توانسته ایم به او بفهمانیم كه میتواند فكر كند و او قادر است استدلال كند؟
گـویا تنهـا تـدریس ریـاضیات شده است ارائـه تعاریف ، مثالـهـا و حـل تمرینات موجود كتاب و ... .
در ریاضیات دبیرستانی دانش آموز مایل است بداند كه آنچه می خواند در كجای زندگی او كاربرد دارد ؟
آیا برای او پاسخی داریم؟ یا اینكه سؤال او و ما یكسان است !
چرا باید در كلاسهای خود به جبر ، ریاضی تدریس كنیم؟ چرا به جبر از آنها تمرین و پاسخ بخواهیم ؟
چرا او خود بدنبال یادگیری ریاضیات نیست و تنها این مائیم كه با ترفندهای گوناگون او را مجبور به یادگیری و شاید حفظ كردن مفاهیم میكنیم.
چرا نباید متعلم داوطلبانه در فرایند یادگیری شركت كند ؟
آیا راه كاری وجود دارد و یا راه كارها عملی هستند؟
در مقطع دبیرستان ، دانش آموز باید بر اهمیت ارتباط میان انتخابهای علمی و سایر انتخابهای دوران زندگی خود واقف شوند. این مسئله حیاتی است كه مربیان ریاضی بكوشند تا باور دانش آموزان را نسبت به ارزش دانش ریاضی و كارامدی آن در جامعه تقویت ؛ و آنان را متقاعد سازند كه توان و ظرفیت انجام فعالیتهای ریاضی را در حال و آینده دارند و به گونه ای پیوسته اطلاعات به روز و قابل اعتمادی را در عرصه مقولات زیر فراهم آورند.
۱ – چگونگی مرتبط ساختن آنچه دانش آموزان در ریاضی می آموزند با انتخابهای تحصیلی و شغلی آنان.
۲ – افـــزایش فرصتهایـی در زندگی دانش آموزان كه در نتیجه مطالعات آینده در ریاضی برای آنان فراهم خواهد شد.
به عبارتی ، دوران دبیرستان میتواند فرصتهایی را برای تقویت و تثبیت مفاهیم و مهارتهای ریاضی دانش آموزان فراهم آورد كه یادگیری های بعدی را در این عرصه ، به ویژه تحصیلات تخصصی دانشگاهی مرتبط با دانش و تجربه ، تسهیل سازد.
۳ – چـگونگی اتكا فـزاینده سایـر عرصه هـای علم و زندگی غیر ریاضیات و علوم
فیزیكی بر دانش ریاضی.
۴ – لازمه فارغ التحصیلی فراگیر از دبیرستان ، یادگیری موفقیت آمیز بخشهایی از
ریاضی است.
۵ – مشكلات مربوط به مرتبط ساختن ریاضیات متوسطه و دوران قبلـی ، ریاضـی
آموزش عالی و دنیای واقعی كار و حرفه است.
بنابراین همه كسانی كه بگونه ای در امر تعلیم و تربیت ریاضی دخیل هستند، اعم از والدین ، مربیان و برنامه ریزان ، باید با یاری یكدیگر و هم اندیشی های سودمند بكوشند تا طرز تلقی ها ، ادراك و تصمیم سازی های فراگیران را در عرصه ریاضی شكل دهی و هدایت كنند. از مهمتریـن هدفهای آموزشی ریاضی ، آن گونه كه NCTM و سایـر پـژوهشگــران اعلام كــرده اند ، ایـن است كـه انجمن دبیران ریاضی ، جهت كسب اطلاع بیشتر به سایت اینترنتی www.nctm.org مراجعه نمایید..دانش اندوزان بیاموزندكه برای ریاضیات ارزش قائل شوند و به كارایی آن در جریان زندگی و پرورش نیروی تفكر و استدلال و تحلیل واقف شوند. به علاوه ، نسبت به قابلیتها و ظرفیتهای خویش در انجام تكلیفهای ریاضی و موقعیتهای مختلف حل مسئله اعتماد و اطمینان یابند تا جایی كه كار و تلاش در ریاضی برای آنان همچون عملی رضایت بخش و مسرت آفرین درآید ، نه عملی اضطراب زا و ملالت بار !
دیدگاه نوین آموزش ریاضی بر این مهم تاكید دارد كه انتقال منفعلانه مفاهیم و مهارتهای ریاضی توسط معلمان ، یادگیری معنادار را برای فراگیران به همراه ندارد و هرگز موجب رشد و پویایی تفكر ریاضی نخواهد شد ، بلكه این فراگیران هستند كه با مشاركت فعالشان در عرصه آموزش و
یادگیری ریاضی بر مبنای دانش و تجربه‌های پیشین خود ، ریاضیات را امری قابل فهم و لذت بخش می سازد . تولید، تثبیت و تقویت تفكر ریاضی برای فراگیران هنگامی روی می دهد كه با هدایت معلم تلاش كنند خود در ساختن مفاهیم ، مهارتهای جدید ریاضی و نیل به آنها مشاركت موثر داشته باشند.
به گفته نوربرت وینر : “ هنر ریاضیات ، هنر درك پرسشهای درست است و قطعه اصلی كار در ریاضیـات تخیل است و آنچه ایـن قطعه اصـلـی را به حـركت در می آورد ، منطق می باشد و امكان استدلال منطقی زمانی پدید می آید كه ما پرسشهای خود را درست مطرح كرده باشیم. “ این
موضوع كه چگونه فراگیران میتوانند دانش و تجربه های پیشین خود را در موقعیتهای جدید یادگیری به كار گیرند و با طرح پرسشهای مناسب در ساخت مفاهیم شركت داشته باشد ، جای بحث و تالم بسیار دارد. در قلمروی كار ریاضی ، متخصصان با طرح نظریه هایی به این مهم پرداخته اند. اعجوبه آمریكایی كه در سن هفده سالگی ار دانشگاه هاوارد دكترای ریاضی گرفت.ما می توانیم با برگـزاری همایشها و بـرنامه های علمی و استفاده از تجارب اساتید
دانشگاهی و متخصصان آموزش ریاضی و متبحران در علوم دیگر ( مانند علوم پایه ، علوم فنی و مهندسی و رشته ای علوم پزشكی و . . . ) این نظریات را بررسی كرد و بهترین راهكار را انتخاب كرده و در برنامه تدریس خود قرار دهیم.چنانچه در بالا گفته شد دانش آموز نقش بیشتری در امر آموزش ریاضی دارد و معلم تنها هدایت و نظم دهی به فرایند یادگیری را بر عهده دارد از اینرو می توان ؛ در سطح پایین تری ( محیط دبیرستان یا مراكز آموزشی ) با دعوت از صاحبان مشاغل مختلف كه از ریاضیات بطور مستقیم یا غیر مستقیم در حرفه خود استفاده میكنند ( مانند طراحان ،
معماران ، مهندسان و متخصصان خط تولید كالا و . . . ) و حضور آنها در جمع دانش آموزان به این هدف تا اندكی دست یافت.در این جلسات دانش آموز قادر است برای برخی از پرسشهای خود پاسخی بیابد و هر پاسخ قدمی او را به ریاضیات نزدیكتر می كند.
مولفان كتب ریاضی دبیرستانی نیز میتوانند با گنجاندن مفاهیم كاربردی ریاضی به موازات بیان مطالب درسی ، معلم را در رسیدن به اهداف مورد نظر ، یاری كنند.دانش آموز ، كاربرد مطلب و مفهوم ریاضی را در یك امر عینی زندگی مشاهده میكند و او قادر است با این مثال عینی كه خود آن را حل كرده است به آن مفهوم ریاضی نیز دست پیدا كند.
پیشنهـاد دیگری كه در این راستا ارائه مــی شود تـالیف كـتـاب درسی با نام “كاربردهای ریاضی “ است كه عمده مباحثی كه باید در كتاب پیشنهادی به آن پرداخته شود عبارتند از:
الف ) كاربرد ریاضی در فیزیك
ب ) كاربرد ریاضی در شیمی
ج ) كاربرد ریاضی در صنعت
د ) كاربرد ریاضی در زندگی
با پرداختن به مباحث فوق در كتاب پیشنهاد شده قادر خواهیم بود ، دانش آموز را اندكی متوجه ریاضیات و كاربرد ریاضیات كنیم و به او یاد دهیم كه دیگر كاربردهای ریاضی را ، خود بیابد.
می توانیم به دانش آموز غیر مستقیم بگوییم كه “ مسائل ریاضی تنها تمرینات كتاب ریاضی نیست ؛ بلكه تمام پیرامون تو پر از مسائل ریاضی است . “دانش آموز یاد می گیرد مسئله طرح كند و برای یافتن پاسخ ، فكر كند و با یافتن پاسخش ، لحظاتی را شاد بگذراند.
به هر حال چنانچه اطلاعات عرضه شده به فراگیران در درس ریاضی به صورت قطعه های خبری مجزا ، ناپیوسته و گاه غیر مرتبط با هم دیده شوند ، انتظاری برای چنین مشاركتی نمی توان
داشت. به علاوه باید متوجه باشیم كه یادگیری در ریاضی با سرعتی یكسان و هماهنگ در دانش آموزان یك كلاس درس اتفاق نمی‌افتد. از این رو ، یادگیری های انفعالی كه به شتاب و به چگونگی یادگیری در افراد توجهی ندارد ، طبعا به بروز یادگیری های طوطی وار می انجامد. از سوی دیگر ، بسیاری از مشكلاتی كه در نگرش به آموزش و یادگیری ریاضیات اتفاق می افتد ، به واقع ناشی از برداشتهای غلط در مورد طبیعت ریاضیات است. این مهم در ساختن باورهای فراگیر در عرصه كار و
ریاضی تاثیری قابل تامل دارد.معلمان و مدرسان درس ریاضی در كلاسهای درس خود همواره با دانش آموزانی مواجهند كه در درك مفاهیم و تجزیه و تحلیل مسائل ریاضی مشكلات خاص خود را دارند ، و حتی گاهی آنان از دانستن ابتدایی ترین مفاهیم ریاضی نیز عاجزند.همچنین یكسان نبودن سطح درك ریاضی در كلاسها موجب ایجاد روشی ابداعی و غیر علمی از جانب مدرس ریاضی می شود كه شاید مشكلات دانش آموزان ضعیف را چند برابر كند و گاهی اوقات ضربه ای غیر قابل جبران ( جسمی ، روانی و . . . ) به دانش آموز مستعد درك ریاضی وارد كند. این روشهای ابداعی ، تنها بر اساس شخصیت مدرس شكل میگیرد و همواره متناوب و بینظم است .كلاس درسی كه از چنین روشهای تدریسی استفاده می شود ، بازدهی خوبی نداشته و دانش آموزان حاظر در چنین كلاسی همواره با تنشهای روانی مواجهند.
روانشناسان علاقمند به آموزش ریاضی می كوشند تا دریابند چگونه عاملهای گوناگون بر تفكر و رفتار ریاضی فراگیران موثرند و این سؤال كه ریاضی گونه اندیشیدن به چه معناست ، در مركزیت این مطالعه قرار گرفته است.چرا روانشناسان در فهم ما از اینكه مردم چگونه ریاضی را یاد می گیرند نقش فراوانی دارد؟ این پرسشی است كه پاسخ آن هنوز برای بسیاری مبهم و ناشناخته است و به رغم برخی تلاشها در به كارگیری ابزار روان شناختی در تییین یادگیری و آموزش علوم از جمله ریاضیات ، می توان مدعی شد كه هنوز اندكند كسانی كه با نگرش روان شناختی در این عرصه تلاش می كنند.
عبارت روان شناسی یادگیری ریاضی نه تنها در میان مردم عادی ، بلكه در جمع معلمان و مربیان ریاضی ، به ویژه در جامعه ما ، چندان آشنایی نمی باشد. به علاوه، آنچه دانشجویان به ویژه در رشته های دبیری از مباحث روان شناختی می‌آموزند غالبا همچون مفاهیم كلی و بی ارتباط با
سایر شاخه های معرفت بشری از جمله علوم تجربی و ریاضیات برایشان جلوه گر می شود. از اینرو ارتباطی معنادار بین دانسته های آنان در روان شناسی و تلاش در عرصه فراگیری ریاضی مشاهده نمی شود. مثلا دنشجویان در درس روان شناسی تربیتی با نظریه های مختلف یادگیری آشنا می شوند در حالیكه كمترین اطلاعی از كاربرد این الگوها در یادگیری و آموزش ریاضی و تدوین برنامه های درسی ندارند و نمیدانند كه این الگو ها چگونه می تواند رفتار فراگیران را پیش بینی كند.
با برگزاری كلاسهای آموزشی كوتاه مدت ، قادریم مدرسان ریاضی را در ارائه روشهای برتر تدریس یاری كرد و با بهره گیری از دانش روان شناسان ، فرایند آموزش ریاضی را در این كلاسها بررسی و با ارائه راه كارهای علمی از افت شدید دانش آموزان جلوگیری كنیم.
اسكمپ می گوید: یادگیری و آموزش ریاضی از مقوله های روان شناختی است و ما پیشرفت قابل ملاحظه ای در ریاضی نخواهیم داشت ، مگر اینكه بدانیم ریاضی چگونه یاد گرفته می شود
رياضيات ؛ راه حل كدام است؟
رياضيات نقش گسترده اي در زندگي آينده افراد داراست ، رياضيات قادر است با اثر گذاري بر شخصيت انسان آنها را در برابر مشكلات آينده زندگي مقاوم تر كند. مطالعه رياضيات و تفكر در مسائل رياضي انسان را خلاق و پويا كرده و قادر است از او شخصيتي بسازد كه بهتر در مورد مسائل روزمره زندگي خود استلال و تفكر كند.
آيا ما به عنوان يك مدرس رياضيـات تـوانسته ايم اين بعد رياضي را به دانش‌آموزان خود آموزش دهيم ؟
آيا توانسته ايم به او بفهمانيم كه ميتواند فكر كند و او قادر است استدلال كند؟
گـويا تنهـا تـدريس ريـاضيات شده است ارائـه تعاريف ، مثالـهـا و حـل تمرينات موجود كتاب و ... .
در رياضيات دبيرستاني دانش آموز مايل است بداند كه آنچه مي خواند در كجاي زندگي او كاربرد دارد ؟
آيا براي او پاسخي داريم؟ يا اينكه سؤال او و ما يكسان است !
چرا بايد در كلاسهاي خود به جبر ، رياضي تدريس كنيم؟ چرا به جبر از آنها تمرين و پاسخ بخواهيم ؟
چرا او خود بدنبال يادگيري رياضيات نيست و تنها اين مائيم كه با ترفندهاي گوناگون او را مجبور به يادگيري و شايد حفظ كردن مفاهيم ميكنيم.
چرا نبايد متعلم داوطلبانه در فرايند يادگيري شركت كند ؟
آيا راه كاري وجود دارد و يا راه كارها عملي هستند؟
در مقطع دبيرستان ، دانش آموز بايد بر اهميت ارتباط ميان انتخابهاي علمي و ساير انتخابهاي دوران زندگي خود واقف شوند. اين مسئله حياتي است كه مربيان رياضي بكوشند تا باور دانش آموزان را نسبت به ارزش دانش رياضي و كارامدي آن در جامعه تقويت ؛ و آنان را متقاعد سازند كه توان و ظرفيت انجام فعاليتهاي رياضي را در حال و آينده دارند و به گونه اي پيوسته اطلاعات به روز و قابل اعتمادي را در عرصه مقولات زير فراهم آورند.
1 – چگونگي مرتبط ساختن آنچه دانش آموزان در رياضي مي آموزند با انتخابهاي تحصيلي و شغلي آنان.
2 – افـــزايش فرصتهايـي در زندگي دانش آموزان كه در نتيجه مطالعات آينده در رياضي براي آنان فراهم خواهد شد.
به عبارتي ، دوران دبيرستان ميتواند فرصتهايي را براي تقويت و تثبيت مفاهيم و مهارتهاي رياضي دانش آموزان فراهم آورد كه يادگيري هاي بعدي را در اين عرصه ، به ويژه تحصيلات تخصصي دانشگاهي مرتبط با دانش و تجربه ، تسهيل سازد.
3 – چـگونگي اتكا فـزاينده سايـر عرصه هـاي علم و زندگي غير رياضيات و علوم
فيزيكي بر دانش رياضي.
4 – لازمه فارغ التحصيلي فراگير از دبيرستان ، يادگيري موفقيت آميز بخشهايي از
رياضي است.
5 – مشكلات مربوط به مرتبط ساختن رياضيات متوسطه و دوران قبلـي ، رياضـي
آموزش عالي و دنياي واقعي كار و حرفه است.
بنابراين همه كساني كه بگونه اي در امر تعليم و تربيت رياضي دخيل هستند، اعم از والدين ، مربيان و برنامه ريزان ، بايد با ياري يكديگر و هم انديشي هاي سودمند بكوشند تا طرز تلقي ها ، ادراك و تصميم سازي هاي فراگيران را در عرصه رياضي شكل دهي و هدايت كنند. از مهمتريـن هدفهاي آموزشي رياضي ، آن گونه كه NCTM و سايـر پـژوهشگــران اعلام كــرده اند ، ايـن است كـه
انجمن دبيران رياضي ، جهت كسب اطلاع بيشتر به سايت اينترنتي www.nctm.org مراجعه نماييد..
دانش اندوزان بياموزندكه براي رياضيات ارزش قائل شوند و به كارايي آن در جريان زندگي و پرورش نيروي تفكر و استدلال و تحليل واقف شوند. به علاوه ، نسبت به قابليتها و ظرفيتهاي خويش در انجام تكليفهاي رياضي و موقعيتهاي مختلف حل مسئله اعتماد و اطمينان يابند تا جايي كه كار و تلاش در رياضي براي آنان همچون عملي رضايت بخش و مسرت آفرين درآيد ، نه عملي اضطراب زا و ملالت بار !
ديدگاه نوين آموزش رياضي بر اين مهم تاكيد دارد كه انتقال منفعلانه مفاهيم و مهارتهاي رياضي توسط معلمان ، يادگيري معنادار را براي فراگيران به همراه ندارد و هرگز موجب رشد و پويايي تفكر رياضي نخواهد شد ، بلكه اين فراگيران هستند كه با مشاركت فعالشان در عرصه آموزش و يادگيري رياضي بر مبناي دانش و تجربه‌هاي پيشين خود ، رياضيات را امري قابل فهم و لذت بخش مي سازد . توليد، تثبيت و تقويت تفكر رياضي براي فراگيران هنگامي روي مي دهد كه با هدايت معلم تلاش كنند خود در ساختن مفاهيم ، مهارتهاي جديد رياضي و نيل به آنها مشاركت موثر داشته باشند.
به گفته نوربرت وينر : “ هنر رياضيات ، هنر درك پرسشهاي درست است و قطعه اصلي كار در رياضيـات تخيل است و آنچه ايـن قطعه اصـلـي را به حـركت در مي آورد ، منطق مي باشد و امكان استدلال منطقي زماني پديد مي آيد كه ما پرسشهاي خود را درست مطرح كرده باشيم. “
اين موضوع كه چگونه فراگيران ميتوانند دانش و تجربه هاي پيشين خود را در موقعيتهاي جديد يادگيري به كار گيرند و با طرح پرسشهاي مناسب در ساخت مفاهيم شركت داشته باشد ، جاي بحث و تالم بسيار دارد. در قلمروي كار رياضي ، متخصصان با طرح نظريه هايي به اين مهم پرداخته اند.
اعجوبه آمريكايي كه در سن هفده سالگي ار دانشگاه هاوارد دكتراي رياضي گرفت.
ما مي توانيم با برگـزاري همايشها و بـرنامه هاي علمي و استفاده از تجارب اساتيد
دانشگاهي و متخصصان آموزش رياضي و متبحران در علوم ديگر ( مانند علوم پايه ، علوم فني و مهندسي و رشته اي علوم پزشكي و . . . ) اين نظريات را بررسي كرد و بهترين راهكار را انتخاب كرده و در برنامه تدريس خود قرار دهيم.
چنانچه در بالا گفته شد دانش آموز نقش بيشتري در امر آموزش رياضي دارد و معلم تنها هدايت و نظم دهي به فرايند يادگيري را بر عهده دارد از اينرو مي توان ؛ در سطح پايين تري ( محيط دبيرستان يا مراكز آموزشي ) با دعوت از صاحبان مشاغل مختلف كه از رياضيات بطور مستقيم يا غير مستقيم در حرفه خود استفاده ميكنند ( مانند طراحان ، معماران ، مهندسان و متخصصان خط توليد كالا و . . . ) و حضور آنها در جمع دانش آموزان به اين هدف تا اندكي دست يافت.
در اين جلسات دانش آموز قادر است براي برخي از پرسشهاي خود پاسخي بيابد و هر پاسخ قدمي او را به رياضيات نزديكتر مي كند.
مولفان كتب رياضي دبيرستاني نيز ميتوانند با گنجاندن مفاهيم كاربردي رياضي به موازات بيان مطالب درسي ، معلم را در رسيدن به اهداف مورد نظر ، ياري كنند.
دانش آموز ، كاربرد مطلب و مفهوم رياضي را در يك امر عيني زندگي مشاهده ميكند و او قادر است با اين مثال عيني كه خود آن را حل كرده است به آن مفهوم رياضي نيز دست پيدا كند.
پيشنهـاد ديگري كه در اين راستا ارائه مــي شود تـاليف كـتـاب درسي با نام “كاربردهاي رياضي “ است كه عمده مباحثي كه بايد در كتاب پيشنهادي به آن پرداخته شود عبارتند از:
الف ) كاربرد رياضي در فيزيك
ب ) كاربرد رياضي در شيمي
ج ) كاربرد رياضي در صنعت
د ) كاربرد رياضي در زندگي
با پرداختن به مباحث فوق در كتاب پيشنهاد شده قادر خواهيم بود ، دانش آموز را اندكي متوجه رياضيات و كاربرد رياضيات كنيم و به او ياد دهيم كه ديگر كاربردهاي رياضي را ، خود بيابد.
مي توانيم به دانش آموز غير مستقيم بگوييم كه “ مسائل رياضي تنها تمرينات كتاب رياضي نيست ؛ بلكه تمام پيرامون تو پر از مسائل رياضي است . “
دانش آموز ياد مي گيرد مسئله طرح كند و براي يافتن پاسخ ، فكر كند و با يافتن پاسخش ، لحظاتي را شاد بگذراند.
به هر حال چنانچه اطلاعات عرضه شده به فراگيران در درس رياضي به صورت قطعه هاي خبري مجزا ، ناپيوسته و گاه غير مرتبط با هم ديده شوند ، انتظاري براي چنين مشاركتي نمي توان داشت. به علاوه بايد متوجه باشيم كه يادگيري در رياضي با سرعتي يكسان و هماهنگ در دانش آموزان يك كلاس درس اتفاق نمي‌افتد. از اين رو ، يادگيري هاي انفعالي كه به شتاب و به چگونگي يادگيري در افراد توجهي ندارد ، طبعا به بروز يادگيري هاي طوطي وار مي انجامد. از سوي ديگر ، بسياري از مشكلاتي كه در نگرش به آموزش و يادگيري رياضيات اتفاق مي افتد ، به واقع ناشي از برداشتهاي غلط در مورد طبيعت رياضيات است. اين مهم در ساختن باورهاي فراگير در عرصه كار و رياضي تاثيري قابل تامل دارد.
معلمان و مدرسان درس رياضي در كلاسهاي درس خود همواره با دانش آموزاني مواجهند كه در درك مفاهيم و تجزيه و تحليل مسائل رياضي مشكلات خاص خود را دارند ، و حتي گاهي آنان از دانستن ابتدايي ترين مفاهيم رياضي نيز عاجزند.
همچنين يكسان نبودن سطح درك رياضي در كلاسها موجب ايجاد روشي ابداعي و غير علمي از جانب مدرس رياضي مي شود كه شايد مشكلات دانش آموزان ضعيف را چند برابر كند و گاهي اوقات ضربه اي غير قابل جبران ( جسمي ، رواني و . . . ) به دانش آموز مستعد درك رياضي وارد كند. اين روشهاي ابداعي ، تنها بر اساس شخصيت مدرس شكل ميگيرد و همواره متناوب و بينظم است .
كلاس درسي كه از چنين روشهاي تدريسي استفاده مي شود ، بازدهي خوبي نداشته و دانش آموزان حاظر در چنين كلاسي همواره با تنشهاي رواني مواجهند.
روانشناسان علاقمند به آموزش رياضي مي كوشند تا دريابند چگونه عاملهاي گوناگون بر تفكر و رفتار رياضي فراگيران موثرند و اين سؤال كه رياضي گونه انديشيدن به چه معناست ، در مركزيت اين مطالعه قرار گرفته است.
چرا روانشناسان در فهم ما از اينكه مردم چگونه رياضي را ياد مي گيرند نقش فراواني دارد؟ اين پرسشي است كه پاسخ آن هنوز براي بسياري مبهم و ناشناخته است و به رغم برخي تلاشها در به كارگيري ابزار روان شناختي در تييين يادگيري و آموزش علوم از جمله رياضيات ، مي توان مدعي شد كه هنوز اندكند كساني كه با نگرش روان شناختي در اين عرصه تلاش مي كنند.
عبارت روان شناسي يادگيري رياضي نه تنها در ميان مردم عادي ، بلكه در جمع معلمان و مربيان رياضي ، به ويژه در جامعه ما ، چندان آشنايي نمي باشد. به علاوه، آنچه دانشجويان به ويژه در
رشته هاي دبيري از مباحث روان شناختي مي‌آموزند غالبا همچون مفاهيم كلي و بي ارتباط با ساير شاخه هاي معرفت بشري از جمله علوم تجربي و رياضيات برايشان جلوه گر مي شود. از اينرو ارتباطي معنادار بين دانسته هاي آنان در روان شناسي و تلاش در عرصه فراگيري رياضي مشاهده نمي شود. مثلا دنشجويان در درس روان شناسي تربيتي با نظريه هاي مختلف يادگيري آشنا مي شوند در حاليكه كمترين اطلاعي از كاربرد اين الگوها در يادگيري و آموزش رياضي و تدوين برنامه هاي درسي ندارند و نميدانند كه اين الگو ها چگونه مي تواند رفتار فراگيران را پيش بيني كند.
با برگزاري كلاسهاي آموزشي كوتاه مدت ، قادريم مدرسان رياضي را در ارائه روشهاي برتر تدريس ياري كرد و با بهره گيري از دانش روان شناسان ، فرايند آموزش رياضي را در اين كلاسها بررسي و با ارائه راه كارهاي علمي از افت شديد دانش آموزان جلوگيري كنيم.
اسكمپ مي گويد: يادگيري و آموزش رياضي از مقوله هاي روان شناختي است و ما پيشرفت قابل ملاحظه اي در رياضي نخواهيم داشت ، مگر اينكه بدانيم رياضي چگونه ياد گرفته مي شود.
مارپيچ‌هاي طبيعي فرما،
شما تو درساتون منحني‌ها و توابع مختلف رو ديدين ولي آيا مي‌دونيد اونا از كجا اومدن؟
مي‌دونستيد مي‌شه با توجه به ساختار يه گل آفتاب گردون مدل‌هاي رياضي جالبي رسم كرد؟
تعدادي از رياضيدانان اومدن و مدل نوعي گل آفتاب گردون با گلبرگ‌هاي سفيد و پرچمها ريز زرد رنگ رسم كردن
.
پرچم‌هاي استوانه‌اي اين گل بسيار منظم دركنار هم چيده شدن. هر چي از مركز گل دور مي‌شن بزرگتر مي‌شن. آنها به صورت يك مارپيچ از مركز گل تا ابتداي گلبرگها ادامه دارن جهت چرخش اين مارپيچ از داخل به بيرون ساعتگرد يا در بعضي طرحها پادساعتگرد مي‌باشد.
يك روش براي مدل‌سازي آن اينست كه مارپيچ را به وسيله‌ي يك منحني به نام مارپيچ فِرما رسم كنيم. اين منحني به نام مارپيچ سهمي‌گون هم شناخته شده. معادله‌ي آن از معادله قطبي گرفته شده.
r = k a1/2
در اينجا r فاصله از مبدأ، k مقداريست ثابت كه نشان‌‌دهنده‌ي مقدار پيچش منحني مي‌باشد و a زاويه قطبيست.
با قرار دادن نقاط به جاي خطوط منحني شما مي‌توانيد طرح ديگري از اين مارپيچ داشته باشيد. مدل‌هاي مختلف را با توجه به زاويه‌هاي كه پرچمها مي‌سازند رسم ميكنيم. در شرايط مختلف از طرحهاي مختلف استفاده ميكنيم. از زاويه 222.49 براي مدل‌سازي استفاده كنيد.اگر شما براي مدل‌سازي از گروه زوج تايي از گوشه‌ها يا دواير متحدالمركز استفاده كنيد بسيار شبيه پرچم‌هاي آفتاب‌گردون مي‌شود.
با انتخاب زواياي ديگه شما مي‌تونيد طرحهاي مختلف كه به صورت ساعتگرد يا پاد ساعتگرد مي‌باشند رو داشته باشيد كه البته تمام اين طرحها به نوعي با هم در ارتباطند. روبرت ديكسون تعدادي از اين طرحها رو در كتاب خودش به نام mathographics آورده.
روبرت كروزيك (Krawczyk)از شيكاگو طرحهايي شبيه موج مدل‌سازي كرده و با تركيب همون طرحها، مدل‌هاي جديدي بدست آورده كه شبيه شكل‌هاي زيره.
سپس وي با قرار دادن نقاط به جاي گوشه‌ها و منحني‌ها طرح مشكل و متفاوتي رو بدست آورده.(به اين شكل قت رسم شكل و زاويه‌هايش بالا مي‌ره.)
در پايان هم با بيشتر كردن بافت طرحش و نشون دادن پيچ و تابهاي منحني طرحش رو به اتمام مي‌رسونه.
کاربرد ریاضی در موسیقی
شاید تا حالا فکر کرده باشید ریاضی در چیزای خشک و بی مزه است اما باید بگوییم که در اشتباهید. ریاضی در اینجا خود را با آلات موسیقی قاطی کرده. حالا ریاضیات را در این آلت می بینید.
مثلث از ابتدایی ترین اشکال هندسی بوده که انسانها در هنر ازاون استفاده میکردند، بدون شک اولین نوع از انواع مثلث هم که در هنر از آن استفاده شده مثلث متساول الاضلاع بوده است. اهرام مصر نمونه بسیاری قدیمی (حدود 2800 سال پیش از میلاد) از کاربری مثلت در هنر معماری قدیم بوده است. نمونه های دیگر از استفاده از مثلث در هنر تمدن های قدیم را می تواند در کاشی کاری های دیواره معابد Pompeii در نپال نیز مشاهده کرد.
معروف هست تالس (640-550 سال پیش از میلاد) که پدر ریاضیات، نجوم و فلسفه یونان باستان بوده از شاگردان خود می خواهد که به مصر سفر کنند تا از پیشرفت علوم در آن تمدن اطلاعات لازم را کسب کنند و فیثاغورث (Pythagoras) از اولین افرادی بوده که این دستور را می پذیرد و به مصر سفر میکند. فیثاغورث از بنیانگذاران علمی موسیقی در جهان بوده و اغلب از هندسه برای مدل کردن استفاده می کرده، می خواهیم با استفاده از تجربیات او سلسه مطالبی را پیرامون ارتباط موسیقی با علوم هندسه، فیزیک و ریاضی آغاز کنیم.
موسیقی را می توانیم به روشهای مختلف مدل کنیم برای شروع کار ساده ترین روش را انتخاب میکنم که عبارت است از مدل کردن عمودی موسیقی یاهمان هارمونی. این روش مدل کردن به موسیقیدان ها کمک می کند تا هنگام فکر یا گوش کردن به هارمونی تصویر بهتری از نت های موسیقی داشته باشند بخصوص برای نوازندگان سازغیر از پیانو.
یک دایره در نظر بگیرید و آنرا به دوازده قسمت مساوی (یک اکتاو کروماتیک) تقسیم کنید و نت ها را به ترتیب روی هر قسمت بنویسد مانند شکل. یکی از ساده ترین اشکال هندسی که در این دایره تقسیم شده می توان ساخت مثلت متساوی الاضلاع می باشد. که اگر آنرا بسازید و به آن
دقت کنید تفسیر موسیقی آن یک آکورد افزوده خواهد بود. حتما" شنید که آکوردهای افزوده جدای از اینکه معکوس باشند یا نه چهار حالت بیشتر نیستند که دایره فوق این موضوع را بسادگی نمایش میدهد چرا که اگر راس بالایی مثلث را در جهت عقربه های ساعت حرکت دهیم تا رسیدن به نت E و انطباق دوباره روی خود، می تواند سه حالت دیگر را به خود بگیرد. همچنین به وضوح در شکل می توان دید که یک آکورد افزوده از سه فاصله (که در اینجا هرکدام یک ضلع مثلث هستند) یکسان معادل 4 نیم پرده تشکیل شده است.
شما باز هم می توانید مثلث های دیگری درست کنید. به شکل بعدی نگاه کنید که آکوردهای دو ماژور و لا مینور را نمایش میدهد. این دو مثلث (آکورد) خصوصیات جالبی دارند اولا" اضلاع آنها باهم برابر است، ثانیا" نسبت به خطی که از D کشیده میشود و به G# خطم میشود متقارن می باشند، حتما" می دانید که مینور نسبی گام دو ماژور، لامینور می باشد. به این طریق شما می توانید یک روش ساده برای پیدا کردن گامهای مینور و ماژور نسبی پیدا کنید، هر چند اینکار در پیانو بخاطر وضوح دیداری که چیدمان نت ها وجود دارد ساده می باشد.
مثلث های متساوی الساقین هم جالب هستند یکی از آنها آکورد sus2 را تشکیل میدهد که در شکل مشاهده میکنید و همچنین میتوانید آکوردهای کاسته را نیز باز با یک مثلث متساوی الساقین درست کنید. اگر دقت کنید این مثلث متساوی الساقین حالت آکورد sus2 برای C و حالت آکورد sus4 برای G دارد. بنابراین می توان به ارتباط نزدیک آکوردهای sus در حالت های 2 و 4 برای فاصله های پنجم با یکدیگر پی برد. این نکته هم جالب خواهد بود اگر شما راس D در این مثلث را نسبت به راس C قرینه کنید به آکورد sus2 دیگری می رسید که یک پرده عقب تر است آکورد Csus4 قرار دارد.
شما می توانید دامنه مدل کردن را ادامه دهید و راجع به سایر مثلث ها فکر کنید، همچنین می توانید آکوردهای چهار صدایی را با انواع چهار ضلعی ها مدل کنید. سئوالی که پیش می آید این است که آیا هستند افرادی که با شنیدن موسیقی این اشکال در ذهن آنها نقش ببندد؟
رياضيات مهندسي:
بررسي هاي فوريه:
مقدمه: تفكيك يك تابع به چند جزء مختلف و يا بسط آن به يك سري گسترده از توابع داراي بورد كاربردي مختلف در رياضي و فيزيك است، يكي از اين موارد بسط توابع برحسب مجموعه اي از توابع هارمونيك مثلثاتي با فركانسها و دامنه اي مختلف است. در اين فصل ضمن آشنايي قدم به قدم به اصول اين روش با كاربردهاي حاصل از آن نيز آشنا مي شويم.
1-1- توابع متناوب: اگر شكل تابع در فواصل منظم تكرار شود آنرا تناوب گوئيم.
در مورد يك تابع متناوب مي توان نوشت:
(1) f (x+T) = f(x)
در اين رابطه f تابعي از متغير x و دوره تناوب T مي باشد.
براساس اين تعريف ملاحظه مي شود كه اگر g,f توبام هم پريود باشند، تابعي كه به صورت زير تعريف مي شود نيز با آنها هم پريود است.
(2) h = f + g
sin و cos از جمله توابع متناوبند.
Sin x 2
Cos x
مثال: دوره تناوب Sin x + 3 Cos x چقدر است؟
Sin x 2
Cos x
بنابراين دوره تناوب تابع مذكور 2 مي باشد.
به اين ترتيب دوره تناوب مجموعه اي توابع به صورت زير برابر 2 خواهد بود.
(3)f(x)=a.+a1cosx+a2cos2x+…+anconx+b.+b1sinx+b2Sin2x+…+bnSinx
در بخشهاي بعد ديده مي شود كه مي توان براي تابعي با دوره تناوب 2 ضمن محاسبه ظرائب a1 تا a2 يك سري مثلثاتي مثل رابطه (3) پيدا كرد.
مثال: كوچكترين دوره تناوب توابع زير را بدست آوريد:
الف) sinx ب) sin2x ج) sin2x د)
T=2 T= T=1 T=T
هـ) sin2nx و) ز)
T=1/x T=T/n T=4
ح) ط) 3sin4x+cos4x
T=12 T=/4
1-2- توابع متاعد:
دو تابع f و g را در فاصله (a,b) عمود بر هم گوئيم هرگاه داشته باشيم:
كه به اختصار آنرا به صورت (f.g)=0 نمايش مي دهيم. براين اساس:
(Cosmx, Sin nx)=0
(Sin mx, Sin nx)=0
(Cos mx, Sin mx)=0
در فاصله (0,2) تمام اين توابع بر هم عمود هستند.
توابع تناوب را اعم از اينكه داراي دوره تناوب 2 باشد يا نباشد مي توان برحسب توابع هامونيك cos, sin نوشت. بسط حاصل از تفكيك يك تابع به اجزاء هارمونيكي يك سري فوريه مي گوئيم. اكنون به معرفي سري فوريه مي گوئيم.
1-3-1- بسط توابع دوره تناوب 2
تابعي را با دوره تناوب 2 در نظر بگيريد. اين تابع را با سري مثلثاتي رابطه (3) مي توان جايگزين كرد يعني مي توان نوشت:
براي اثبات اين ادعا لازم است ضرائب a0، an و bn را محاسبه كنيم. محاسبه اين ضرائب با توجه به خاصيت متعاصر تابع هاي هارمونيكي قابل انجام است.
مثلا براي محاسبه an طرفين رابطه (8) را در cosx ضرب نموده و سپس انتگرال گيري نمائيم.
+
1-3-1- بسط تابع با دوره تناوب 2v
ضرائب a0، an و bn =؟
براي محاسبه a0 از طرفين T- تا T انتگرال مي گوييم
براي تعيين ضرائب جملات كسينوسي طرفين را در Cosmx ضرب مي كنيم و از –T تا T
انتگرال مي گيريم.
تمامي جملات به جز جمله در حالتي كه n,m باشد برابر صفرند و در حالت n,m مستقر برابر 2n است
براي تعيين جملات سينوسي، طرفين در Sinx ضرب
تمامي جملات بجز آنهم زماني كه m، n است برابر صفرند و در حالت m، n اين جمله برابر
: ضرائب فوريه
مثال: سري فوريه را براي تابع زير بيابيد:
-<x<0 -k
F(x)=
0<x< k
a0=0
n فرد باشد 2
1-cos=
n زوج باشد 0
B4=0 63=4k/3 b2=0 61=4k/
F(x)=4k/(sinx+1/3sinx+1/5sin5x+…)
1-3-2- بسط توابع با دوره تناوب دلخواه:
تابعي مانند fT(t) را كه در يك تناوب در فاصله (4/ و 4/-) واقع شده را در نظر بگيريد. با تغيير متغير T/2t= x تابعي به صورت f(x) بدست مي آيد كه داراي دوره تناوب 2 است.
4/T =t متناظر است با = x
براي تابع f(x) با دوره تناوب 2 سري فوريه بدست آورده شد. اگر به جاي x در اين رابطه متناظرش را قرار دهيم:
مثال: براي موج سينوسي با فركانس w كه در قسمت منفي آن حذف شده است، بسط فوريه را بدست آوريد:
-/w<t<0 0
F(t)=
0<t</w E0sinwt
n=1 E0/2
bn= به همين ترتيب
n1 0
مثال: مطلوبست محاسبه بسط فوريه كه در فاصله (-2,2) به صورت زير تعريف شده است:
f(t)= 4-t2 -2<t<2
T= 4
=
4 را ازاين رابطه محاسبه كنيد:
تمرين: براي توابع زير كه داراي دوره تناوب 2 هستند و در فاصله (1 و 1-) تعريف شده اند سري فوريه را بيابيد:
f(x)= Sgn (x)(الف
f(x)= U (x)(ب
f(x)= x(ج
f(x) = x (و
f(x)= x2(هـ
f(x)= Sinx(و
قضيه: سري فوريه يك تابع متناوب يكي است. بنابراين از هر روشي كه به سري فوريه يك تابع برسيم، در تابع يك سري فوريه منحصر به فرد براي يك تابع متناوب خواهيم داشت.
1-4- توابع زوج و فرد و يك سري فوريه
f(-x) = f(x) : تابع زوج
f (-x)= - f(x): تابع فرد
ساير توابع نه زوج و نه فرد هستند. مانند ex يا 1+x
اگر O(x) يك تابع فرد و E(x) يك تابع زوج و f(x) نه زوج و نه فرد باشد آنگاه:
o1+o2=o3
E1+E2=E3
O+E=f
O1-O2=E
O1.E=O2
E1.E2=E3
اين خصوصيات هيچ شباهتي به خاصيت اعداد زوج و فرد ندارد.
براساس تعريف تابع هاي زوج و فرد توابع Sinx و Cosx به ترتيب فرد و زوج محسوب مي شوند.
اگر f(t) تابعي زوج باشد T/ f(t) cos 2nt يك تابع زوج است.
بنابراين ضرائب an به اين صورت محاسبه مي شوند:
f(t). Sin 2nt/T يك تابع زوج * يك تابع فرد فرد bn برابر صفر است
به همين صورت اگر f(t) فرد باشد
قضيه: ضرائب فوريه مجموعه 2f + 1f برابر با مجموعهاي ضرائب متناظر 1f و 2f هستند و ضرائب فوريه cf برابر C ضرب در ضرائب فوريه متناظر f هستند.
مثال: بسط فوريه تابع متناوب f(x)= +x كه در يك دوره تناوب در فاصله (-,) است را بدست آوريد.
T= 2
