دانلود مقاله معادلات دیفرانسیل – روش های تفاضل متناهی

word قابل ویرایش
40 صفحه
4700 تومان

معادلات دیفرانسیل – روش های تفاضل متناهی

«روش‌های تفاضل متناهی»
روابط واضح یا غیرواضح بین مشتقات و مقادیر توابع در نقاط آغازی وجود دارد.
نقاط آغازی بر روی [a,b] می تواند به وسیله [j= 1,2,…,N] و xj= a+jh به طوریکه ، ، در نظر گرفته شود.
این عبارت برای مشتقات تحت شرایط مقادیر تابعی است.
جواب مسأله مقدار مرزی یک تفاضل متناهی بوسیله جای‌گذاری معادله دیفرانسیل در هر نقطه آغازین به وسیله یک معادله تفاضلی بدست می آید.
با در نظر گرفتن شرایط مرزی در معادلات تفاضلی، سیستم جبری معادلات مورد حصول حل می شود، این یک جواب عددی تخمینی برای مسأله مقدار مرزی بدست می دهد.
– Linear Second Order Differential Equations

[معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم] ‍[صفحه ۵, ۴ ]
به معادله دیفرانسیل مرتبه دوم زیر توجه می کنیم:
، (۴۶)
در رابطه با شرایط مرزی نوع اول: ، (۴۷)
مقدار قطعی u(m) از با مشخص شده و مقدار تقریبی آن با ، با استفاده از سریهای تیلورها می توانیم مشخص کنیم که:
( .۴۲)

به طوری که و
(۴۹)

به طوری که
ما فرض کردیم که پیوستگی بدین صورت است:

به طوری که .
با در نظر گرفتن شرایط در ۴۸ ، ۴۹ و جایگذاری در ۴۶ ، تفاضل تقریبی متناهی معادله دیفرانسیل مذکور در به صورت زیر است:
( .۵۰)
شرایط مرزی ( .۴۲) به صورت زیر تبدیل می شود:
( .۵۱)
پس از ضرب با ، ( .۵۰) می تواند به صورت زیر نوشته شود:
و ( .۵۲)
به طوری که:
و و
سیستم ( .۵۲) در نوشتار ماتریسی، پس از لحاظ شرایط مرزی، تبدیل می‌شود به:
( .۵۳) Au=b
به طوری که:

حل سیستم معادلات خطی ( .۵۳) جواب تفاضل متناهی معادله دیفرانسیل ( .۴۶) را ارائه می دهد که پاسخگوی شرایط مرزی مدنظر است.

اشتباه بریدگی داخلی. (p.565) (خطای برش)
غلط بریدگی داخلی از معادله ( .۵۲) بوسیله
( .۵۴)
نشان داده می شود. به طوری که
بسط هر شرط در طرف اول معادله ( .۵۴) در سری تیلور آن مول ، بدست می دهد:
( .۵۵)
به طوری که .
بنابراین روش مذکور، روش حل معادله مرتبه دوم می باشد.

شرایط مرزی اشتقاقی: (p.596)
هم اکنون توجه خود را به شرایط مرزی نوع سوم معطوف می کنیم:

( .۵۶)
تفاضل تقریبی معادله دیفرانسیل ( .۴۶) در گره‌های داخلی j=1,2,…,N ، بوسیله معادله ( .۵۲) داده شده که دارای N+2 مجموع در N معادله می‌باشد. هم اکنون ما نیاز داریم دو یا چند معادله متناظر برای شرایط مرزی ( .۵۶) بیابیم.
با حذف شرایط در ( .۴۸) ، تفاضل تقریبی متناهی ( .۵۶) به صورت زیر می باشد:
در : یا
( .۵۷)
در یا
( .۵۸)
به طوری که و ، مقادیر تابعی در و می باشند. گره‌های و خارج از بازه [a,b] قرار دارند و گره‌های غیرواقعی خوانده می‌شوند:
دیفرانسیل:
مقادیر و می توانند با این فرض که معادله تفاضلی ( .۵۲) برای N+1 و j= 0 در نقاط مرزی و باقی می ماند و می تواند نادیده گرفته شود.
جایگذاری مقادیر و در ( .۵۷) و ( .۵۸) در معادلات ( .۵۲) به ازای N+1 و j= 0 ما را می رساند به:

( .۵۹)
معادلات ، ( .۵۲) ، و یک سیستم سه‌گانه از معادلات بوجود می آورند.
تا زمانی که تفاضل تقریبی ( .۵۲) برای معادله دیفرانسیل ( .۴۶) و تفاضلات تقریبی ( .۵۹) برای شرایط مرزی ( .۵۶) ، همگی مرتبه دوم هستند. تمام معادلات برای ، همچنین مرتبه دوم هستند.
به طور متقابل، ما نمی توانیم از نقاط غیرواقعی ، استفاده کنیم. در این مورد ما می توانیم از تقریب های زیر استفاده کنیم:

یا
( .۶۰)
( .۶۱)
یا

تا زمانی که تقریب های ( .۶۰) ، ( .۶۱) از نوع اول هستند، تمام معادلات
( .۶۰) ، (۷٫۶۲) و (۷٫۶۱) برای j= 0,…,N+1 نمی توانند مرتبه دوم بمانند. این معادلات همچنین یک دستگاه معادلات تشکیل می دهند.

یا
( .۶۲)

یا
( .۶۳)
تا زمانی که تقریب های ( .۶۲) و ( .۶۳) از مرتبه دوم هستند، تمام معادلات ( .۶۲)، ( .۵۲) و ( .۶۳) برای همچنین از مرتبه دوم هستند. اگر ما را از ( .۶۲) که از اولین معادله مجموعه ( .۵۲) استفاده می کند. و را از ( .۶۳) که از آخرین معادله مجموعه ( .۵۲) حذف کنیم سپس معادلات حاصله یک دستگاه معادلات سه‌گانه تشکیل می‌دهند.

روش مرتبه چهارم در غیاب در ( .۴۶) . (p.598)
به معادله دیفرانسیل زیر توجه کنید:
( .۶۴)
که در ارتباط با شرایط مرزی نوع اول ( .۴۲) است.
برای این مسئله ما می توانیم یک روش مرتبه بالاتر یا مرتبه چهارم بسازیم. ما معادله دیفرانسیل را به صورت زیر:
( .۶۵)
و یک روش Numeruv برای حل آن می نویسیم.

( .۶۶)

( .۶۷)

شرایط مرزی اشتقاقی برای ( .۵۶) . (p.598)
بار دیگر توجه خود را به شرایط مرزی نوع سوم معطوف می کنیم:
( .۶۸)
( .۶۹)
نظر به اینکه روش Numeruv ( .67) برای ( .۶۵) از مرتبه چهارم می‌باشد، به تقریبات مرتبه چهارم برای و نیاز داریم. با ، و با استفاده از بسط سری تیلور می نویسیم:
( .۷۰)
با استفاده از قانون سیسمون برای بررسی کران انتگرال طرف راست داریم:

( .۷۱)
به طوری که و
تخمین خطا از می باشد.
هم اکنون به یک تخمین برای نیاز داریم. با استفاده از سری‌های تیلور می نویسیم:
( .۷۲)
تخمین خطار از می باشد. اگر تخمین ( .۷۲) در ( .۷۱) مورد استفاده قرار گیرد، سپس مرتبه‌اش را با حفظ می کند. بنابراین با شکل دادن ( .۷۱) ، ( .۷۰) و ( .۷۲) تخمین زیر را داریم:
( .۷۳)
( .۷۴)
به طوریکه با حل کردن برای داریم:

که از می باشد با جایگذاری در ( .۶۸) ، تقریب تفاضلی صحیح از داریم که در x =a صحیح است به صورت زیر:
( .۷۵)
به طور مشابه می نویسیم:
( .۷۶)
بار دیگر با استفاده از قانون سیسون برای بررسی طرف راست انتگرال داریم:

( .۷۷)

به طوری که ؛

تخمین خطار از است.
هم اکنون با استفاده از بسط سری تیلور می نویسیم:
( .۷۸)
تقریب خطا از می باشد. بنابراین با شکل دادن ( .۷۶) ، ( .۷۷) و (۷٫۷۸) تقریب را بدین صورت داریم:
( .۷۹)
به طوری که ( .۸۰)
با حل کردن برای بدست می آوریم.
( .۸۱)
که از است.
با جایگذاری در ( .۶۹) تقریب تفاضل را که در x =b صحیح است بدست می آوریم که بدین صورت است.
( .۸۲)
به جای تقریبی که در ( .۷۸) داده شده، همچنین می توانیم از عبارت زیر استفاده کنیم:

پس بجای تقریب داده شده در (۷٫۸۰) داریم:
( .۸۳)
مثال ۱٫ حل کنید مسأله مقدار مرزی زیر را با و به کار بردن متد فوق.
؛ ؛
حل. بازه بسته [۰,۱] را به چهار زیر جازه تقسیم می کنیم، نقاط گره‌ای عبارتند از:
، ؛
روش حل معادله دیفرانسیل مرتبه دوم یک دستگاه معادلات زیر را بدست می دهد.

با ضرب در طرفین معادله بالا بدست می آوریم:

برای داریم.

با به کار بردن شرایط مرزی داریم:

مثال ۲: مسأله مقدار مرزی زیر را وقتی حل کنید.
؛ و
حل: با به کار بردن روش حل معادله دیفرانسیل مرتبه دوم
وقتی ؛ ما چهار نقطه گره‌ای داریم: و که عبارتند از ۰ ، ، و ۱٫
سیستم معادلات زیر را بدست می آوریم:

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
wordقابل ویرایش - قیمت 4700 تومان در 40 صفحه
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد