بخشی از مقاله
مقدمه
ریاضیات علمی است که در خصوص اعداد، اشکال، مقادیر و ویژگیهاي روابط بین آنها بحث میکند - مهام، . - 40 :1373 ریاضی از جمله دانشهاي قدیمی و شناخته شده ایست که ویژگیهاي شگفتانگیزش همچون قطعیت و ضرورت، آن را موضوع بحثها و دیدگاههاي مختلفمتفکّران در طول تاریخ گردانید. زبان ریاضی با زنجیره و سطوح انتزاعی و برخوردار بودن از نتایج دقیق و ضروري یاظاهراً ضروري، ویژگیهاي اختصاصی خود را آشکار میسازد. با این همه، رابطه دانش ریاضی با کاربرد عملی آن در امور عینی، بر شگفتی دانش ریاضی میافزاید
تعلیم یا آموزش، در لغت به معنی آموختن، یادگرفتن، آگاهانیدن، کسی را چیزي آموختن و ... است. آموزش در حقیقت کوششی است که معلم براي انتقال دانش، ارزش یا مهارتی خاص به شاگردان بهکار میبرد. این کار به میزان آشنایی معلم با روشهاي تدریس و همچنین نوع محتواي مورد انتقال و هدفی که از آموزش دارد، بستگی دارد
فلسفه ریاضی، تحقیق و پژوهش درباره مبانی ریاضیات است. اگر فلسفه از هستی یا چیستی بهطور مطلق سؤال میکند، فلسفه ریاضی همین سؤالها را در قلمرو ریاضیات مطرح میکند؛ بنابراین فلسفه علم ریاضیات دانشی است انتزاعی، تحلیلی و فلسفی که در مورد مفاهیم پایه و اصول اساسی و بنیادي ریاضیات، ماهیت گزارههاي ریاضی، روش ریاضی، ریاضی و واقعیت، رابطه ریاضیات با علوم دیگر و ... بحث میکند
فلسفه علم ریاضیات بهعنوان یکی از شاخههاي فلسفی، از دامنه و عمق قابل توجهی برخوردار است و رویکردها و دیدگاههاي فلسفی متعددي در طول تاریخ، در حوزة این دانش شکل گرفته است. از اینرو لازم است این رویکردها و دیدگاههاي فلسفه ریاضیات با تعمق و تفصیل بیشتري مورد بررسی قرار گیرند تا مواضع اتخاذ شدة مختلف مشخص شود و سپس دلالتهاي آنها بر آموزش ریاضی مورد بررسی قرار گیرد.
بیان مسئله:
چرا باید براي بحث دربارة برنامه درسی و آموزش ریاضی به تأمل فلسفی درباره ماهیت ریاضیات بپردازیم؟ ریاضیات داراي زبان ویژهاي است یا زبان را به شیوهي خاصی مورد استفاده قرار میدهد؟ بحث درباره ماهیت این زبان، از سویی جنبه فلسفی دارد و به اتخاذ مواضع و رویکردهاي مختلفی از سوي فیلسوفان منجر شده است و از سوي دیگر، نوع این مواضع بر نحوة آموزش و یادگیري ریاضی تأثیرگذار است. در ابتدا به شرح رویکردهاي غالب فلسفی در ریاضیات میپردازیم.
بر اساس رویکرد افلاطون گرایی ، پدیدههاي ریاضی مستقل از ذهن بشر، حس و تجربه، مکان و زمان و ازلی و فناناپذیرند. علاوه بر اینها، ریاضیات با الهیات مربوط است، به طوري که اعداد طبیعی در نزد فیثاغورثیان و افلاطونیان داراي معانی معنوي و روحانی بودند
افلاطون معتقد بود ریاضیات دانش اساسی براي حرکت از ظلمت به نور است و رسیدن به کمال مطلوب از مسیر ریاضی میسر میشود. براي تربیت زمامداران و سرداران صالح، برنامه آموزشی باید متکی بر ریاضیات باشد. از دیدگاه افلاطون، آثار تربیتی و اخلاقی ریاضی بسیار مهمتر از کاربرد آن در زندگی واقعی بوده است
از دیدگاه منطق گرایان ، ریاضیات شاخهاي از منطق به حساب میآید؛ بنابراین برنامه درسی ریاضی باید شامل پیشنیاز منطق صوري باشد. یعنی ابتدا منطق صوري آموزش داده شود و سپس ریاضیات را در قالب منطق ریخته، آموزش داد. طبیعی است که در آموزش ریاضی محدودیت ایجاد شده، به راحتی به زندگی واقعی پیوند نمیخورد. ریشه این باور از منطقگرایی راسل نشأت میگیرد
در دیدگاه صورتگرایی ، تأکید بر آموزش نمادهاي جبري و نظریه مجموعهها به عنوان زیربناي محتواي ریاضیات، پرهیز از تلاش براي معنادارکردن آنها، تأکید بر دستگاههاي مجرد و صوري ریاضیات محور قرار میگیرد. این رویکرد به علت انتقاد شدید ریاضیدانان طول عمر کوتاهی داشت ولی آثار آن تا مدت طولانی ادامه داشت، زیرا صورتگرایی محض موجب میشود بین شاگردان و ریاضی فاصله ایجاد شود و آنها نخواهند توانست ریاضیات را با زندگی و آرزوهایشان پیوند بزنند و چرایی آن برایشان بیپاسخ است
بر اساس رویکرد شهودگرایی ، ریاضیات داراي ماهیتی است که هم از محسوسات متمایز است و هم از روابط منطقی. در واقع، ذهن در فرآیند تفکّر داراي تصوراتی است که حاکی از انعکاس اشیاء بیرونی در ذهن نیستند، بلکه حاصل عمل و فعالیت خود ذهن بر اساس شهود است. این کنش ذهنی فراتر از قلمرو صرف زبان است
رویکرد سازه گرایی سعی دارد ریاضیات را از قالب یک دانش ایستا، کامل، بدون تغییر و به طور مطلق صحیح بیرون آورد و تصویري متفاوت از ریاضی را نشان دهد و ریاضی را به عنوان یک پدیده انسانی و اجتماعی – تاریخی و فرهنگی و بخشی از فرهنگ بشري که با تاریخ انسانی شکل گرفته در نظر بگیرد. از این رویکرد بهعنوان فلسفه خطاگراي ریاضیات یاد میشود و طبق آن مفاهیم و براهین ریاضیات قابل تجدیدنظر محسوب میشوند. در واقع در این رویکرد نقش تاریخ ریاضیات اهمیت پیدا میکند
بنابراین نوع رویکرد و دیدگاه فلسفی ما نسبت به ماهیت و زبان ریاضی، آموزش ریاضی را تحت تأثیر قرار میدهد. مثلاً؛ اگر رویکرد فلسفه ریاضیات، ماهیت ریاضی را غبارآلود و ابهامآمیز معرفی کند، آموزشپذیري ریاضی غیرقابل دسترس میشود و چنانچه رویکرد فلسفهاي با این حقیقت که ریاضی آموختنی و یادگرفتنی است سازگار باشد، آنگاه آموزش ریاضی امکانپذیر و ممکن خواهد بود
اینکه با بکارگیري و رعایت کدام رویکرد و دیدگاه میتوان به نحو مؤثّرتري به آموزش ریاضی اقدام کرد، سؤالی مهم و حیاتی است که تنها با نگاهی محققانه و فلسفی به رویکردها و دیدگاههاي موجود میتوان به پاسخ آن رسید. بر همین اساس، هدف اصلی این پژوهش، تبیین و ارزیابی رویکردهاي فلسفه ریاضیات و تأثیر آنها بر حوزة آموزش ریاضی است.
پرسش هاي پژوهش:
-1 علم ریاضیات داراي چه رویکردها و دیدگاههاي فلسفی است؟
-2 رویکردها و دیدگاههاي فلسفه ریاضیات چگونه بر حوزة آموزش ریاضی تأثیر میگذارند؟
-3 مزایا و معایب هر رویکرد و دیدگاه فلسفه ریاضیات بر حوزة آموزش ریاضی چیست؟
نتایج پژوهش:
نتایج حاصل از پژوهش نشان میدهد؛ هر رویکرد و دیدگاه فلسفی داراي نقاط ضعف و قوتی است و انتخاب هر رویکرد فلسفی از جانب ما نسبت به ماهیت و زبان ریاضی،قطعاً آموزش ریاضی را تحت تأثیر قرار میدهد. مثلاً مشکلی که واقعگرایی محض با آن روبروست، این است که دریافتهاي ریاضی ما را مطلق، ثابت و غیرقابل نقض تلقی میکنند، اما با ظهور تحولاتی در عالم علم ریاضیات، همچون هندسههاي غیراقلیدسی، دفاع از آن میسر نیست.
همچنین یکی از مشکلات سازهگرایان، مربوط به نظر آنان در مورد جایگاه محوري فعالیت اکتشافی در ریاضیات است. از نظر سازهگرایان، فعالیت ریاضی نیز تجربی است و باید سازههاي ذهنی ریاضی را مورد آزمایش و بررسی مشاهدهاي و تجربی قرار داد. این اصرار بر پیوند هر فعالیت ریاضی با عالم تجربه با دو مشکل مواجهه است.
- نخست اینکه؛ فرضیهها و یافتههاي علومتجربی از خصیصهي امکانی برخوردار است، در حالی که ریاضیات از دیرباز خصیصه ضرورت را به صورت برجستهاي دارا بوده است.
- دوم اینکه عملی و کاربردي کردن ریاضیات براي حل مشکلات و مسائل واقعی، مانع از آن میشود که بتوان همه ریاضیات را با آن توجیه کرد؛بنابراین میتوان به این نتیجه راه یافت که، برخی رویکردها با مسائل و مشکلات اساسی روبه رو هستند. همچنین تأثیر رویکردهاي فلسفی مختلف بر آموزش ریاضی بهطور غالب در یک تقابل اساسی آشکار شده است.
در این تقابل، در یکسو رویکردهایی قرار دارند که ریاضیات را بر حسب روابط منطقی و قیاسی تحلیل میکنند و در سوي دیگر رویکردهایی قرار دارند که آن را بر حسب تجربه و بهصورت عملگرایانه در نظر میگیرند. در قطب نخست میتوان منطقگرایان، صورتگرایان، شهودگرایان و افلاطونگرایان را قرار داد
در قطب دوم نیز میتوان تجربهگرایان1، سازهگرایان و عملگرایان2 را قرار داد. بر اساس دیدگاه نخست؛ ریاضی جنبه پیشینی یا پیش از تجربه دارد، در حالیکه بر اساس رویکردهاي مدافع قطب دوم، علم تجربی از خصیصه پسینی برخوردار است.
این تقابل اساسی، پیامدهاي متناسب با خود را در آموزش ریاضی فراهم آورده است. بر اساس دیدگاه نخست، باید برهان و تواناییهاي مربوط به آن را در کانون توجه قرار دهد و در پی آن باشد که دانشآموزان توانایی، درك و اقامه برهان ریاضی را بیابند. در مقابل، دیدگاه دوم بر آن است که برهان و فعالیت قیاسی، نباید محور برنامه درسی ریاضی را تشکیل دهد، بلکه رویکرد تجربی و روش علمی باید در ریاضیات نیز محور قرار گیرد، خواه به منزله استقراء و خواه بهصورت حدس، کاربرد و حل مسئله، یعنی اموري که در سایر فعالیتهاي تجربی نیز ملاحظه میشوند
بنابراین، تأثیر رویکردهاي فلسفه ریاضی در آموزش ریاضی بهصورت منازعهاي میان رویکردهاي منطقگرا و تجربهگرا آشکار گردیده که طنین آن در آموزش ریاضی، بهصورت محوري دانستن برهان در مقابل محوري دانستن فعالیت اکتشافی مطرح شده است؛بنابراین اتخاذ این مواضع فلسفی، هریک به تناسب بر آموزش ریاضی تأثیرآفرینی خواهند داشت.
اگر ماهیت ریاضی امري صوري، استنتاجی و ضروري باشد، در این صورت آموختن ریاضی مستلزم درك روابطی از نوع مذکور میان مفاهیم و قضایاي ریاضی خواهد بود و باید دانشآموزان را از خلط اینگونه قضایا با موارد تجربی و مشاهدهاي برحذر داشت. در نقطهي مقابل، هنگامی که زبان ریاضی را زبان علمتجربی و مرتبط با آن در نظر بگیریم، آموزش ریاضی راه متفاوتی را خواهد پیمود. در این حالت آموزش ریاضی همانند آموزش علوم تجربی است و جایگاه مشاهده و تجربه در آن نه تسهیل کننده درك ریاضی - مورد قبول دیدگاه نخست - بلکه مقوم درك دانش ریاضی خواهد بود
هریک از این دو قطب رقیب، یعنی قیاسگرایی و تجربهگرایی در دورههایی معینی بر عرصه آموزش ریاضی، تأثیرآفرین بودهاند. گاه دیدگاه قیاسگرایی و منطقگرایی - در دهه ي 1960 و 1970 بهعنوان ریاضیات جدید - ، همراه با تأکید ویژه بر برهان بر این عرصه غالب گشته و گاه دیدگاه تجربهگرایی و سازهگرایی - پس از زیاد شدن انتقادات به صورتگرایی افراطی قیاسگرایان در دهه ي 1980 به بعد - ، همراه با تأکید ویژهاي که بر فعالیتهاي اکتشافی دارد، منشأ چنین اثري بوده است. در حال حاضر نیز فلسفه ریاضی شبهتجربی در عرصه آموزش ریاضی، فلسفه غالب میباشد که توسط لاکاتوش و پولیا مطرح شد
