بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله تحلیل کمانش ورقهای مستطیل از جنس FGM با استفاده از روش EFG مورد بررسی قرار گرفته که ابتدا معادلات حاکم بر کمانش ورق FGM را بدست می آوریم و ماتریس سختی در روش بدون المان گالرکین را نیز به همین ترتیب و با این روش، تکیه گاههای ورق که همگی تکیه گاه ساده می باشند را به دست می آوریم سپس برای مشخص شدن نتایج، با استفاده از برنامه متلب، نیروی حاکم بر ورق که ایجاد کمانش می کند را در موقعیت های مختلف به دست می آوریم و در انتها با استفاده از نرم افزار آباکوس تصاویر کمانش ورق را در همان ابعاد که در برنامه ی متلب بود استخراج می کنیم و بارهای کمانشی استخراج شده از متلب و آباکوس را با هم مقایسه می کنیم.
.1 مقدمه
ورق ها از اجزای مهم تشکیل دهنده ی سازه ها و ماشین آلات صنعتی هستند که تحت تأثیر بارهای فشاری، کششی و برشی، پایداری خود را از دست داده و کمانش می کنند. کمانش بیشتر در اعضایی رخ می دهد که ابعاد آن در جهات مختلف، تفاوت زیادی با یکدیگر دارند. مقاومت سازه ای ورق ها که ضخامتشان نسبت به ابعاد طولی و عرضی آنها بسیار کمتر است به شدت تحت بارگذاری های داخل صفحه آسیب پذیرند. یکی از معروفترین ترکیب های موجود در ساخت FGM مربوط به ترکیب فلز و سرامیک است. حل مستقیم معادلات دیفرانسیلی تعادل یک ورق در وضعیت کمانش، کار دشواری است و در روش معکوس نیز حدس تابع خیز ورق در شرایط مرزی متنوع از پیچیدگی راه حل تحلیلی است. در این مقاله، حل دقیق کمانش ورق با بهره گیری از روش بدون المان گالرکین انجام گرفته است. در روش بدون المان گالرکین فقط مجموعه ای از گره ها و یک توصیف از شرایط مرزی برای استخراج معادلات گالرکین لازم است.
تاکنون تحقیقات زیادی در مورد تحلیل کمانش ورق ها انجام گرفته است که می توان به این مقالات اشاره کرد: نجفی زاده و مهدویان در سال 2010، به »آنالیز کمانش ورق های مستطیل FGM تحت بارهای گسترده غیر یکنواخت به روش گالرکین و در شرایط تکیه گاهی ساده« پرداختند . جواهری و اسلامی در سال 2002 ، »کمانش ورق های مستطیلی FGM را تحت بارهای فشاری و در شرایط مرزی چهار طرف تکیه گاه ساده به روش انرژی« بررسی کردند و با تغییر در پارامترهای مؤثر در بار کمانش تأثیرگذاری آن ها را در نمودارهای مختلف ترسیم کردند. Kyianو همکارانش در سال 2004 ، تغییر شکل استاتیکی و دینامیکی صفحات ضخیم FGM را به روش بدون المان پتروف- گالرکین انجام دادند. تحلیل آنها بر پایه تئوری مرتبه بالای تغییر شکل برشی و عمودی بوده و صفحات در شرایط تکیه گاهی ساده قرار داشتند. نتیجه آنها این بود که گرادیان خواص مواد تأثیر زیادی بر روی فرکانسهای طبیعی صفحه ای با تکیه گاه ساده ندارد.
.2 کمانش ورق
ورق ها از اجزای مهم تشکیل دهنده سازه ها و ماشین آلات صنعتی هستند که تحت اثر بارهای فشاری، کششی و برشی, پایداری خود را از دست داده و کمانش می کنند. وقتی به اجزاء سازه ای مانند ستونها، ورقها یا پوستهها نیروی فشاری اعمال میشود تا حدی از بار، عضو فقط تغییر شکل محوری میدهد.با افزایش تنش های فشاری در اثر خروج از مرکزیت نیروی فشاری از محور عضو، خمش نیز در آن ایجاد میشود.این فشار و خمش توسط تغییر شکل خمشی عضو تحمل میگردد. ممکن است این جابجایی به حدی برسد که پس از آن بدون افزایش قابل ملاحظهای در مقدار بارگذاری به میزان زیادی افزایش مییابد. در این صورت سازه پایداری خود را از دست میدهد و سازه، یک سازه کمانه کرده تلقی میگردد. به این پدیده در اصطلاح پایداری سازهها، کمانش اطلاق می شود و بار معین منجر به بروز این پدیده را بار کمانشی مینامند.کمانش یکی از پدیده های مهم در علم جامدات می باشد.
لازم به ذکر است که کمانش در اعضاء سازهای که ابعاد آن در جهات مختلف نسبت به هم تفاوت زیاد دارند، اتفاق می افتد.اگر اندازه یک بعد از یک عضو نسبت به دو بعد دیگر آن بسیار زیاد باشد، عضو خطی یا ستون نامیده میشود و اگر اندازه یک بعد نسبت به دو بعد دیگر بسیار کوچک باشد، عضو را صفحهای مینامند. - یامانوچی و همکاران، 1990 - .کمانش بیشتر در اعضایی رخ میدهد که ابعاد آن در جهات مختلف تفاوت زیادی با یکدیگر دارند.از این رو، مقاومت سازهای ورقها که ضخامتشان نسبت به ابعاد طولی و عرضی آنها بسیار کمتر است به شدت تحت بارگذاریهای داخل صفحه آسیب پذیرند
.3 مواد FGM
طبق تعریف FGM موادی هستند که برای به وجود آوردن تغییرات تدریجی در مشخصههای اجزاء ریزساختارها یا ترکیبات به کار میروند که منجر به عملکرد متغیر مواد نسبت به مکان میشوند.کنترل و کمینه کردن تنشهای حرارتی در نواحی بحرانی، تأخیر در نقطه تسلیم، پلاستیک و شکست برای بارگذاریهای حرارتی-مکانیکی، جلوگیری از ایجاد تمرکز تنش و کاهش مشکلات ناشی از بارگذاری های مکانیکی نظیر انواع ترک و تغییر شکل از جمله مواردی هستند که به وسیله تولید و استفاده از این مواد بهبود مییابند.
ترکیبات مختلفی برای تغییرات تدریجی در مواد FGM پیشنهاد شده است و هر کدام هم دارای محاسن و معایب مخصوص به خود هستند.در این ترکیب ها خواص FGM از خواص یک ترکیب یا ماده به سمت خواص ماده یا ترکیب دیگر به تدریج تغییر میکندمعمولاً. نوع ترکیبی که برای این نوع از مواد در نظر گرفته میشود به صورتی است که خواص مواد ترکیبی به نوعی مکمل یکدیگر باشند و هر کدام کمبودهای دیگری را جبران نمایند.یکی از معروفترین ترکیبهای موجود در ساخت FGM مربوط به ترکیب فلز و سرامیک میباشد
.4 روش بدون المان گالرکین:
در روش EFG برای بیان متغیر میدان در سرتاسر دامنه از تقریب توابع MLS استفاده میشود.به این علت برای این توابع به جای عنوان درونیاب، از عنوان تقریب استفاده میشود که این توابع لزوماً از نقاط گرهای عبور نمیکنند.
همین موضوع باعث ایجاد مشکلات زیادی در اعمال شرایط مرزی اساسی هنگام به کارگیری روش EFG میشود یک مسأله دوبعدی مکانیک جامدات با دامنه محدود به مرز را در نظر بگیرید.در روش بدون المان گالرکین، توابع شکل حداقل مربعات متحرک به کار میرود.از آنجایی که تقریب حداقل مربعات متحرک فاقد خاصیت تابع دلتای کرونکر است، - لیو و تی جو، - 1390 لازم است که شکل ضعیف گالرکین مقید به صورت زیر مطرح شود:
که ماتریس قطری ضرایب پنالتی است که در حالت دوبعدی، K=2 و در حالت سه بعدی K=3 میباشد.این امکان
وجود دارد که ضرایب پنالتی i - L 1'2'…'N - تابع مختصات باشند و با یکدیگر متفاوت باشند، اما باید در مسأله داده شوندمعمولاً. در تمرین، به آنها مقادیر ثابت یکسان و بزرگ مثبت اختصاص داده میشود.لازم به ذکر است که در هنگام استفاده از روش بدون المان گالرکین سازگاری کلی تابع شکل، توسط توابع وزن انتخاب شده به طور مناسب در تقریب حداقل مربعات متحرک تضمین میگردد.بنابراین عبارت مقید جهت تضمین سازگاری در شکل ضعیف معادله - 1 - مورد نیاز نیست. با استفاده از توابع شکل حداقل مربعات متحرک ساخته شده به کمک n گره میتوان نوشت:
ماتریس توابع شکل حداقل مربعات متحرک است که به شکل زیر مرتب میشود:
در معادله u1 - 2 - ، v1 پارامترهای جابجایی برای I امین گره است، زیرا که توابع شکل حداقل مربعات متحرک فاقد خاصیت تابع دلتای کرونکر است.این حالت متفاوت از روش درونیابی نقاط شعاعی RPIM است، چرا که روش درونیابی نقاط شعاعی RPIM دارای خاصیت تابع دلتای کرونکر است و u1 ، v1 جابجاییهای گرهی میباشند.با جاگذاری عبارت مذکور در معادله شکل ضعیف - 1 - برای تمامی مؤلفههای جابجایی u و دنبال کردن روند شکل گسسته معادلات دستگاه کلی در روش بدون المان گالرکین به صورت زیر نتیجه میشود:
بردار پارامترهای گرهی جابجایی برای تمامی گرههای داخل دامنه کلی مسأله است، ماتریس سختی کلی است که به کمک ماتریسهای سختی گرهی تشکیل شده است و بردار نیروی خارجی کلی است که به کمک بردارهای نیروی گرهی تشکیل شده است.ماتریس اضافی ، ماتریس سختی پنالتی کلی است که مشابه تشکیل ، به کمک ماتریسهای سختی پنالتی گرهی تشکیل شده است و به صورت زیر تعریف میشود
