بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله خانواده جدیدی از توزیع ها تحت عنوان توزیع لیندلی-دوجمله ای منفی معرفی می گردد. توزیع جدید ازترکیب توزیع لیندلی و توزیع دوجمله ای منفی به دست می آید. این توزیع حالت خاصی از کلاس توزیع های لیندلی-سری توانی ست، که این کلاس در حقیقت تعمیمی از توزیع لیندلی می باشد؛ با این وجود نسبت به توزیع لیندلی از انعطاف پذیری بیشتری برخوردار است. در این مقاله به صورت مختصر برخی از ویژگی های توزیع جدید ازجمله تابع چگالی احتمال، تابع نرخ شکست، تابع بقا و گشتاورها محاسبه می شود.
واژه های کلیدی: تابع بقا، تابع نرخ شکست، توزیع دوجمله ای منفی، توزیع لیندلی.
١مقدمه
فرض کنید یک سیستم با N مؤلفه داریم، N - تعداد مؤلفه ها - یک متغیر تصادفی گسسته با تکیه گاه g ;٢ ;١f و دارای توزیع دو جمله ای منفی با تابع جرم احتمال به فرم است. طول عمر iامین مؤلفه - ; N ;٢ ;١ - i = که یک متغیر تصادفی پیوسته - Xi - است، از توزیع لیندلی برخورداراست. چنانچه مؤلفه ها در یک سیستم به طور سری قرار گرفته باشند، طول عمر این سیستم برابر Y = min Xi است،متغیر تصادفی Y یک خانواده از توزیع ها تحت عنوان لیندلی-دوجمله ای منفی را معرفی می کند. لازم به ذکر است که توابع توزیع و چگالی توزیع لیندلی به فرم می باشند.مدل سازی و تجزیه و تحلیل داده های طول عمر، یک جنبه ی مهم از کارهای آماری است که در طیف گسترده ای از زمینه های علمی و تکنولوژیکی مورد استفاده قرار می گیرند. در سال های گذشته توزیع های فراوانی به منظور مدل سازی برای داده های طول عمر از ترکیب دو تابع معرفی شده اند.
از جمله توزیع های طول عمر ترکیبی، نمایی تعمیم یافته-سری توانی، لیندلی-هندسی، وایبول نمایی شده-پواسون، وایبول نمایی شده-هندسی، وایبول نمایی شده-لگاریتمی، وایبول نمایی شده-سری توانی و نرخ شکست نمایی-سری توانی به ترتیب توسط محمودی و جعفری - ٢٠١٢ - ، ذاکرزاده و محمودی - ٢٠١٢ - ، محمودی و سپهدار - ٢٠١٣ - ، محمودی و شیران - ٢٠١٣ - ، محمودی و سپهدار - ۴٢٠١ - ، محمودی و شیران - ۴٢٠١ - و محمودی و جعفری - ۵٢٠١ - معرفی شده و مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است.کاربرد قابل توجه این توزیع در بهداشت عمومی، علوم آماری، مطالعات زیستی، میکروبیولوژی، بیمه و داده های مالی، جمعیت شناسی و قابلیت اطمینان صنعتی است. در این مقاله قصد داریم برخی از خصوصیات این توزیع را بیان کنیم. در بخش ٢ توابع چگالی، توزیع، بقا و نرخ شکست توزیع لیندلی-دوجمله ای منفی ارائه شده است.بخش ٣ به گشتاورهای این توزیع اختصاص داده شده است.
٢ تابع توزیع تجمعی و تابع چگالی احتمال لیندلی-دوجمله ای منفی
تابع توزیع
تجمعی و تابع چگالی احتمال توزیع لیندلی-دوجمله ای منفی به صورت زیر محاسبه می شود:
که در آن ٠ > ;١ < < ٠ و k 2 N است. توجه داشته باشید حتی زمانی که ٠ است معادله ی - ٢ - هم چنان تابع چگالی باقی می ماند. توابع بقا و نرخ شکست توزیع لیندلی-دوجمله ای منفی به ترتیب عبارتند از:
در ادامه شکل ١، به ترتیب نشاندهنده ی نمودارهای توابع توزیع، چگالی و نرخ شکست به ازای مقادیر مختلف پارامترهای توزیع است. با توجه به شکل رفتار تابع چگالی و نرخ شکست به ازای مقادیر مختلف پارامترها کاملا واضح است؛ تابع چگالی مربوطه دارای حالات تک مدی و نزولی می باشد و همچنین تابع نرخ شکست دارای حالات صعودی و تک مدی است.
گزاره ٢ . ١. با استفاده از معادله ی - ٢ - برای توزیع لیندلی-دوجمله ای منفی داریم:
اگر ١ k =، آنگاه توزیع لیندلی-دوجمله ای منفی به توزیع لیندلی-هندسی تبدیل می شود بنابراین این توزیع را می توان تعمیمی از توزیع لیندلی-هندسی دانست.
٢. اگر ١ k = و ٠ ! ، آنگاه توزیع لیندلی به دست می آید.
٣ گشتاورهای توزیع لیندلی-دوجمله ای منفی
تابع مولد گشتاور و گشتاور rام حول صفر برای این توزیع به ترتیب عبارتند از:
با استفاده از معادله ی - ۶ - ، امید ریاضی توزیع لیندلی-دوجمله ای منفی به صورت زیر حاصل می شود:
با توجه به عبارات فوق می توان نتیجه گرفت از آن جهت که امید ریاضی و واریانس توزیع لیندلی-دوجمله ای منفی فاقد یک فرم بسته است، مقادیر امید ریاضی و واریانس برای این توزیع قابل دستیابی نیستند، اما در جدول ١ نشان داده می شود علی رغم نامتناهی بودن سری ها، می توان با استفاده از روش های عددی به ازای مقادیر مختلف ، و k، امید ریاضی، واریانس، چولگی و کشیدگی را برای این توزیع محاسبه نمود.
