مقاله حل معادلات غیرخطی به کمک روش های عددی

بخشی از مقاله

چکیده

معادلات دیفرانسیلی که در مسائل فیزیکی ظاهر میشوند، اغلب به صورت غیرخطی بوده که حل دقیق آنها برای دستیابی به جواب ضروری است. از آنجایی که اکثر معادلات دیفرانسیل غیرخطی، فاقد حل تحلیلی می باشند، روشهای حل عددی این معادلات برای مواردی چون فیزیک پلاسما مفید به نظر میرسد. بدین منظور در این مقاله به بررسی حل عددی برخی از معادلات دیفرانسیل غیرخطی با مشتقات پارهای وبررسی روشهای عددی برای این دسته از معادلات شامل روشهای تجزیه ادمیان، اختلال هوموتوپی و تکرار تغییرات پرداخته شده است. در ادامه به منظور دستیابی و مقایسه جواب دقیق با حلهای عددی، برای دو معادله غیرخطی نمونه - معادله غیرخطی شرودینگر و معادله کورته وگ دی وری - کد نویسی به کمک نرم افزار برنامه نویسی فرترن انجام شده است و در انتها با تحلیل نمودارها ومقایسه هر دسته از جوابها، دقت روشهای بکار برده شده سنجیده شده است. نتایج نشان میدهند که روش تکرار تغییرات، همگرایی بیشتری داشته و با حل دقیق نیز همخوانی بیشتری دارد.

کلمات کلیدی : روش های حل عددی، معادله دبفرانسیل، غیر خطی

مقدمه

سالیتونها امواجی هستند که نه دچار تیز شدگی میشوند و نه میرا میشوند، بلکه بدون تغییر شکل میتوانند منتشر شوند . سالیتون یک برآمدگی ثابت و موضعی در یک موج غیرخطی است. در واقع سالیتون نمایش تعادل بین اثرات غیرخطی و اثرات پاشندگی است. هرچند اکتشاف اولیه آنها از روی امواج بلند آب صورت گرفت، امواج انفرادی و سالیتونها را در میدانها زمینههای گوناگون علمی و فنی مورد مطالعات و تحقیقات وسیع نظری و تجربی قرار دادهاند. از آن میان،پدیده تسونامی، فیبر اپتیکی، در خطوط انتقال الکتریکی، در ابر رسانایی و در خطوط انتقال ابر رسانا، حوزههای هیدرودینامیک، نور غیرخطی، فیزیک پلاسما، زیست شناسی و سالیتونهای جوی.در اغلب مسائل به معادلات دیفرانسیلی بر میخوریم که حل آنها برای ادامه مطالعات لازم است.

در موارد واقعی این معادلات به صورت غیرخطی ظاهر میشوند. اگر چه حل تحلیلی بعضی از این معادلات دیفرانسیلهای غیرخطی موجود است ولی در اغلب گرایشهای فیزیک از جمله فیزیک پلاسما به معادلات دیفرانسیل غیرخطی بر میخوریم که حل تحلیلی ندارند. مطالعه روشی که پاسخ این معادلات را مشخص کند بسیار مفید است. راه-حلهای عددی و محاسبات دقیق بخصوص حلهای موج پیش رونده از معادلات غیرخطی در فیزیک و ریاضیات در تئوری سولیتون نقش مهمی دارند. در این پروژه، آنالیز و تحلیل عددی معادلات دیفرانسیل غیرخطی، معادله شرودینگر غیرخطی، معادله کورته وگ دی وری به سه روش تجزیه ادمیان، اختلال هوموتوپی و تکرار تغییرات با استفاده از برنامهنویسی فرترن صورت گرفته است.

روش های حل معادلات به روش سالیتونی
 
الف- روش تجزیه ادومیان1
روش تجزیه ادمیان اولین بار توسط ریاضیدان امریکایی، جی. ادمیان - 1996-1923 - 2 برای حل معادلات به کار برده شد. با در نظر گرفتن معادله غیرخطی و محاسبه چند جمله ای های ادمیان و قرار دادن در آن، جواب بدست می آید.
الف-1حل معادله شرودینگر غیرخطی به روش تجزیه ادمیان

صورت کلی معادله شرودینگر غیرخطی به صورت زیر است:

با جایگذاری این معادله در معادله بدست آمده در روش تجزیه ادمیان و انجام محاسبات، خواهیم داشت: - 2a -

با محاسبه ها و سایر پارامترها جواب عمومی معادله شرودینگر تخمین زده میشود.در این روش فقط آن چه ما را به جواب دقیقب نزدیک و یا از آن دور میکند، تابع اولیه است.

الف-2حل معادله کورته وگ دیوری به روش تجزیه ادمیان

اگر معادله کورته وگ دی وری که به صورت زیر میباشد:

اگر معادله فوق را درمعادله تجزیه ادمیان جایگذاری کنیم، با انجام محاسبات به روابط زیر می رسیم:

سپس سایر چند جملهایها میتوانند به روش مشابه محاسبه شوند.2]و[1

ب- روش اختلال هوموتوپی3

روش اختلال هوموتوپی اولین بار توسط هی - 1998 - 4 معرفی شد که ترکیب روش اختلال و روش هوموتوپی می باشد. با در نظر گرفتن معادله دیفرانسیلی غیرخطی و تشکیل یک هوموتوپی جواب بصورت سری بدست میآید و در اغلب موارد همگرا است.

ب-1حل معادله غیرخطی شرودینگر با استفاده از روش اختلال هوموتوپی

اگر برای معادله شرودینگر غیرخطی هوموتوپی را تشکیل دهیم و یک سری محاسبات انجام دهیم، بادادن یک جواب ابتدایی، جواب عمومی بصورت زیر بدست می آید:

ب-2 حل معادله کورته وگ دی وری با استفاده از روش اختلال هوموتوپی

اگر برای معادله همانند معادله شرودینگر غیرخطی هوموتوپی را تشکیل دهیم، با انجام محاسبات و دادن یک جواب ابتدایی جواب عمومی را بدست می آوریم: 4]و[3

ج- روش تکرار تغییرات5
جی هوآن هی6نخستین بار این روش را به کار برد.اگر سیستم غیرخطی معمولی را که در روش های قبل با کار بردیم در نظر بگیریم، آن گاه کاراکتر اصلی این روش برای ساختن یک تابع صحیح برای سیستم است که میخوانیم:

که ضریب لاگرانژ است که میتواند توسط تئوری تغییرات -1 بدست آید.

ج-1 حل معادله شرودینگر غیرخطی به روش تکرار تغییرات

اگر معادله شرودینگر غیرخطی را در رابطه - 7 - قرار دهیم، خواهیم داشت:

اینک باید یک تابع اولیه به معادله بدهیم تا جواب عمومی را بدست بدهد. [5]

ج-2 حل معادله کورته وگ دی وری به روش تکرار تغییرات

حال اگر معادله کورته وگ دی وری را در رابطه - 7 - جایگذاری کنیم، بدست میآوریم:

نتیجه گیری

برای مقایسه جوابها از سه روش، توابع اولیه یکسان زیر را به ترتیب برای معادلههای غیرخطی شرودینگر و کورته وگ دی وری بکار میبریم: - 10 -  

- 11 - نتایج آنالیز که با کمک ترسیم نمودارها حاصل شده است، بطور خلاصه در زیر آورده شده است:

·روش تکرار تغییرات میتواند بر سختی بوجود آمده در محاسبه چند جملهای ادمیان غلبه کند.

·روش تکرار تغییرات برای حل معادلات انتگرال خیلی مؤثر و مناسب بوده و با جواب دقیق مطابقت خوبی دارد.

· روش اختلال هوموتوپی و روش تجزیه ادمیان، نتایج یکسانی دارند، فقط روش اختلال هوموتوپی بر سختیهای محاسبات چند جملهایهای ادمیان غلبه میکند.

· استفاده از روش تجزیه ادمیان در حل معادلات دیفرانسیلی جزیی غیرخطی به خصوص در بازه حل سراسری عموماً نتایج دقیق نمیدهد و از این رو استفاده از دیگر تکنیکها اغلب مورد نیاز است.