بخشی از مقاله
چکیده
امروزه ارائه روابط ساختاری مواد ویسکوالاستیک براساس مدل های فرکشنال، بسیار مورد توجه محققین قرار گرفته است. مهمترین علت تمایل محققین در استفاده از این مدلسازی برای مواد ویسکوالاستیک، نیاز به پارامترها و ضرایب کمتر برای معرفی رفتار این مواد نسبت به مدلسازی معمول است. در این مقاله با توجه به همین ویژگی، تحلیل دینامیکی یک تیر ویسکوالاستیک تحت ارتعاش محوری با مدلسازی سنتی و معمول و مدلسازی با مشتقات کسری انجام شده و نتایج حاصل به صورت تاریخچه جابه جایی برای دو مدل مذکور مقایسه می شود. مدل فرکشنال ارائه شده در این پژوهش، مدل سه پارامتری می باشد. نتایج حاکی از سازگاری قابل ملاحظه مدلسازی فرکشنال بر مواد ویسکوالاستیک است به گونه ای که در بعضی مواد تعدادضرایب مورد نیاز از ده به سه ضریب کاهش می دهد.
-1 مقدمه
در سال های اخیر مشتقات کسری در حوزه های مختلف علوم مهندسی به دلیل خصوصیت فیزیکی و میکانیکی آنها به طور چشمگیری مورد استفاده مهندسان و محققان قرار می گیرد.[1] لذا با توجه به کاربرد رایج مواد ویسکوالاستیک در صنعت، ارائه مدل دقیق و جامع برای این گونه مواد بسیار حائز اهمیت است. از اوایل دهه هشتاد میلادی، پژوهشگران فراوانی در این زمینه فعالیت داشته و مدل های مشتقات کسری متنوعی را برای بیان مشخصات مواد ویسکوالاستیک ارائه داده اند.[2] در گذشته برای مدلسازی رفتار مواد ویسکوالاستیک از مدل هایی مانند مکسول یا کلوین-ویت که ترکیب یک فنر و میراگر بودند، استفاده می شد. اما در مدلسازی با استفاده از این مدل های ساده تناقضاتی مشاهده می شد. نتایج حاصل از این ترکیبات به خوبی بر نتایج توابع خزش و رهاسازی آزمایشگاهی منطبق نشده و معمولا اختلافاتی که بعضا قابل چشم پوشی نبودند، مشاهده می شد. افزایش تعداد واحد های مدل ساده ابتدایی جهت انطباق بیشتر نتایج، منجر به افزایش چشمگیر حجم محاسبات لازم خواهد شد که موجب کاهش سرعت و افزایش خطا در حین محاسبات خواهد شد. همچنین می توان تنها گفت که ترکیبات فنر و میراگرها تحت عنوان مدل های پیشین، تنها در زمان های بسیار کوتاه قادر به مدلسازی رفتار واقعی مواد ویسکوالاستیک خواهد شد. همچنین نتایج آزمایشگاهی نشان داده اند که برای معرفی خصوصیات مواد ویسکوالاستیک، استفاده از حساب دیفرانسیل کسری نسبت به حساب دیفرانسیل صحیح از دقت بالاتری برخوردارست. با توجه به اینکه مدل های معمول معرفی شده براساس انتگرال ها و دیفرانسیل های مرتبه صحیح هستند و در مقابل بسیاری از سیستم های دینامیکی با استفاده از مدل هایی با مرتبه غیر صحیح و کسری بهتر مشخص می شوند. بنابرین ارائه مدلی با این خصوصیات برای مواد ویسکوالاستیک امری ضروری است.
اگرچه ایده اپراتورهای مرتبه کسری، قدمتی دیرینه و همپای اپراتورهای مرتبه صحیح دارد، اما بسط و گسترش این علم، به واسطه توجه دانشمندان علوم مختلف و ریاضیدانان به این علم، از ابتدای قرن حاضر آغاز شده و تحقیقات در مورد آن با سرعت چشمگیری فزونی پیدا کرده است. با گسترش تحقیقات در این زمینه، مجامع علمی، در سال های اخیر، شاهد مطالعات عملی و تئوری فراوان، در زمینه کاربرد اپراتورهای مرتبه کسری در حوزه های مختلف علمی و از جمله در علوم مهندسی بوده است.[3] کتاب معادلات دیفرانسیل کسری ایگور پود لوبنی - - 1999، مرجعی مناسب برای معادله دیفرانسیل از مرتبه کسری می باشد. در این کتاب تعاریف مختلفی از انتگرال ها و مشتق های کسری ارائه شده است، مشتق های گرانوالد-لتنیکوف، ریمان - لیوویل، کاپوتو و… در این به طور کامل بیان شده اند. در فصول دیگر این کتاب راجع به معادلات دیفرانسیل کسری و پدیده هایی که به وسیله این نوع مشتق ها قابل مدل بندی اند را نشان داده است.[4]
Park در مطالعه ای به بررسی رفتار رئولوژیکی میراگرهای ویسکوالاستیک را با مدل های مکانیکی استاندارد مانند، مکسول تعمیم یافته، ویت تعمیم یافته و مشتقات کسری و مدل law-pawer پرداخت و به نتایج قابل قبولی در این زمینه دست یافتAlcoutlabi .[5] و Martinez-Vega در مطالعه ای به بررسی رفتار پلیمرها با استفاده از مدل جامد مشتقات کسری پرداختندBagley .[5] و Torvik با اعمال محدودیت هایی در مدل کسری سه پارامتری، این اطمینان را ایجاد کردند که این مدل توانایی تعیین مقادیر غیر منفی اتلاف انرژی و کار داخلی را داراست.[5] استفاده از معادلات ساختاری تنش-کرنش براساس مشتقات کسری در فرمولاسیون المان محدود توسط Padovan مورد بررسی قرار گرفت و Koeller در مطالعه ای دیگر به بررسی انتگرال کسری پرداخت و آنها را نیز در فرمولاسیون المان محدود به کار بردEnelund .[6] و همکارانش همچنین با استفاده از مفهوم متغیرهای داخلی، المان محدود را در معادلات ویسکوالاستیک مشتق های کسری اعمال کردند.[6] فرمولاسیون المان محدود در معادلات ساختاری تنش-کرنش مواد ویسکوالاستیک با مشتقات کسری توسط Gaul و Schmidt بررسی شد.[6]
در این مقاله برای مقایسه دو روش مدلسازی سنتی و مدلسازی با استفاده از مشتقات کسری که در بخش های بعدی ارائه می شود، ارتعاش محوری یک میله ویسکوالاستیک در نظر گرفته شده است. سعی شده است با استفاده از ضرایب مناسب بهترین مدل ممکن مشتقات کسری را که بیشترین انطباق ممکن را با نتایج حاصل از تست خزش داشته باشد، ارائه شود. در ابتدا اشاره ای جزئی به مدلسازی سنتی مواد ویسکوالاستیک شده و یکی از مدل های معمول معرفی خواهد شد . در ادامه مشتقات کسری معرفی و تعریف جامعی از آن ارائه می شود. همچنین، تعریف ارائه شده برای مشتقات کسری در روابط ساختاری تنش-کرنش مواد ویسکوالاستیک جایگذاری شده و در انتهای این بخش رابطه کلی تنش-کرنش ارائه خواهد شد. در ادامه روابط حاکم بر ارتعاش محوری در میله ویسکوالاستیک و شرایط کلی حاکم بر مسئله بیان می شود در انتهای این بخش با قرار دادن روابط ساختاری تنش- کرنش بدست آمده براساس مشتقات کسری در روابط حاکم بر مسئله، معادلات بدست آمده حل خواهند شد. در بخش نتایج و آنالیز، ابتدا مدل مشتقات کسری سه پارامتری معرفی شده و ضرایب مورد نیاز آن محاسبه شده و در ادامه نتایج حاصل از مدلسازی مورد بحث، با نتایج حاصل از مدلسازی سنتی مواد ویسکوالاستیک مقایسه خواهند شد.
پاسخ مواد ویسکوالاستیک خطی هم شامل جنبه هایی از پاسخ میکانیکی مواد جامد الاستیک و هم مایعات ویسکوز می شود. جهت بیان پاسخ یک ماده ویسکوالاستیک خطی در روش های سنتی، سیستمی متشکل از یک فنر و یک میراگر که به صورت موازی نسبت به هم قرار داده شده اند در نظر گرفته می شود. یک ترکیب ساده فنر و میراگر به مدل معروف کلوین- ویت - شکل - معروف می باشد که به تنهایی نمیتواند به خوبی رفتار واقعی مواد ویسکوالاستیک را مدل نماید. مدل کاملتری بنام مدل تعمیم یافته کلوین- ویت ابزاری برتر در این زمینه است. که در آنt متغیر زمان، تنش ، کرنش ضرایب، p و q نیز توابعی از مدول الاستیسیته فنر و ویسکوزیته میراگر مربوط به هر المان می باشند که با اندیس های 1 الی برای هر المان - مطابق شکل - نشان داده شده اند.[7] بنابرین رابطه بنیادی حاکم در مواد ویسکوالاستیک خطی در مدلسازی سنتی دارای مشتقات مراتب بالایی از تنش و کرنش می باشد که با گرفتن تبدیل لاپلاس و معکوس آن از معادله 12] - 1 - ،[4 می توان رابطه تنش و کرنش را به شکل زیر استخراج نمود:
علامت " " *d در عبارت سوم معادله - 2 - عملگر استیلیس کانولوشن می باشد. در فرمول فوق تابع خزش تطابقی مطابق با مدل تعمیم یافته کلوین -ویت به صورت زیر به دست خواهد آمد:
که در آن J0= 1/E نشان دهنده پاسخ آنی مصالح ویسکوالاستیک، Jk= 1/Ek نشان دهنده خزش تطابقی فنر مربوط به المان k ام المان کلوین - ویت و Ek مدول الاستیسیته فنر k ام و k زمان تاخیر میراگر k ام است.
