بخشی از مقاله
در بهار اتفاق می افتد؟
بعد از ظهر یک سه شنبه بهاری در دفتر کارم مشغول گشت و گذار در منزلگاه های ریاضی بودم که کسی درب اتاقم را باز کرد و وارد شد. خلوتم را به هم زده بود و این عمل را، به خودی خود، گناهی نابخشودنی تلقی می کردم. نخست کمی عصبانی شدم، اما این عصبانیت به سرعت جایش را به حیرتی توام با وحشت داد. امکان نداشت. آخر چطور؟ یعنی چه؟ شاید کابوس بود، نمی توانست واقعیت داشته باشد - یک بار در مجله فیزیک قصهای علمی تخیلی خوانده بودم که در آن نيوتن وارد اتاق فیزیکدان جوانی شده بود و به او گفته بود که نیروی جاذبه با معکوس مکعب فاصله دو جرم متناسب است نه با مربع آن، یکبار هم در کتاب «دنیای سوفی» فیلمی از آتن باستانی را به سوفی نشان داده بودند، اما اینها همه افسانه بودند حال آن که این یکی به هیچوجه به توهم شبیه نبود. راه می رفت و بدون اجازه وارد اتاق کار آدم می شد و از همه عجیب تر شبیه به کسی بود که سال ها در باره اش مطلب خوانده بودم. شبیه سقراط. واقعا شبیه بود، بینی کوفتهای، كله تاس ( باید اذعان کنم که حجم کله اش باور نکردنی بود!)، شانه هایی پهن، تنومند، یک ریش بلند و نامرتب و صدایی نرم و روحانی. لباسی بسیار عادی به تن داشت. پیراهن و شلوار سفید و کفشی کتانی. هوا کمی سرد بود و هنوز این لباس مناسب چنان هوایی نبود اما چیز غیر عادیی نیز تلقی نمی شد. سلام کرد و گفت که آموزگار دبستانی است در همین نزدیکیها! قدری ترسم فرو نشست. عمری رساله خوانی باید هم آدم را خیالاتی کند. نه، معلوم است که آن چیزها باید فقط در قصه ها اتفاق بیافتد و بس گفتم: امری داشتید. گفت: خواهش می کنم، بله، می خواهم گفتگو کنم. گفتم: در چه موردی؟ گفت: اصل انتخاب باز خون به چهره ام دوید و منقلب شدم. آموزگار دبستان را با اصل انتخاب چه کار؟ این که جزء موضوعات درسی آنها نیست. این آدم چه می گوید. خنده ای کرده و گفتم جالب است که به در بهار اتفاق می افتد! -
اصل انتخاب علاقه دارید، نباید با شغلتان ارتباطی داشته باشد، حتما کنجکاوی شخصی باعث شده به این موضوع علاقه پیدا کنید.
گفت: اصل عجیبی است. پذیرفتنش یک مصیبت است و نپذیرفتنش هم یک مشکل از مدیر گروه پرسیدم گفتند شما مبانی ریاضی درس می دهید و به این موضوعات علاقه مندید. من قدری نظریه مجموعه ها خوانده ام و به غیر از بعضی ایرادات منطقی قابل اغماض، اصل انتخاب مرا واقعا به حیرت انداخته و در عین حال بر سر شوق آورده است. دوست دارم کمی با شما در مورد این اصل صحبت کنم. به نظر شما چه چیز این اصل بیش از همه برای یک ریاضیدان جالب است؟
گفتم: شاید کنجکاوی برانگیزترین نکته در باره اصل انتخاب آن باشد که چه موقع از آن استفاده می کنیم. یعنی ردپای اصل انتخاب را در هر کجا که به کار گرفته شده است، ببینیم. این کار همیشه آسان نیست به ویژه اگر بیاد بیاوریم که بسیاری از ریاضیدانان بزرگ اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم، یعنی در اوج شکل گیری و توجه به نظریه مجموعه ها و اصل انتخاب، با وجود مخالفت با اصل انتخاب، بارها ندانسته و نخواسته از این اصل استفاده کرده بودند. و چرا چنین چیزی باید تا این حد مهم باشد؟ چرا دانستن این که در فلان قضیه اصل انتخاب به کار گرفته شده است یا نه مهم است؟ پاسخی که فورا به ذهن می رسد این است که اصل انتخاب از بقیه اصول نظریه مجموعه ها مستقل است (یکی از کارهای مهم گودل). یعنی نمی توان اصل انتخاب را از دیگر اصول نظريه مجموعه ها مانند اصل تصریح، اصل زوج سازی، اصل اجتماع و ... نتیجه گرفت، یا به طور معادل به این معنی است که می توان مدلی ساخت که دیگر اصول نظریه مجموعه ها در آن صدق کنند و راست باشند اما این اصل راست نباشد و هم چنین می توان مدلی ساخت که این اصل و دیگر اصول نظریه مجموعه ها راست باشند...
همینطور که داشتم حافظه ام را تخلیه می کردم وسط حرفهایم دوید و گفت: بله بله متوجهم. اما اگر موافق باشید نخست راجع به موضوع پایه ای تری صحبت کنیم. یعنی خود اصل انتخاب . من در فهم معنای این اصل مشکلاتی دارم. نمیدانم کلمه انتخاب در این میان به چه معناست . اصولا نمی دانم چه وقت در حال انتخاب کردن هستیم و چه وقت نه. برای این کار اجازه دهید موضوع را با حالتی آغاز کنم که در آن فقط یک مجموعه وجود دارد. اگر قصد انتخاب یک عضو از مجموعه ای ناتھی چون A را داشته باشیم چه می کنیم؟
گفتم: منطق به این پرسش چنین پاسخ می دهد که A ناتھی است. پس همان X
را انتخاب می کنیم.
گفت: اما همان x یا یکی از همانها را؟. زیرا ممکن است A یک مجموعه نامتناهی باشد، پس بینهایت از این همانx ها» وجود دارند. آیا اصولا در اینجا نیز موضوع انتخاب قابل طرح است؟ آیا در این زبان مرتبه اول، سور وجودی، ، از میان متغیرها عضوی را انتخاب می کند؟
گفتم: درست مانند آن است که دست کنیم در یک جعبه و چیزی در دستمان قرار گیرد. مهم نیست چه چیزی، تنها کافی است دست ما خالی برنگردد. البته این هیچگاه در مورد یک جعبه خالی اتفاق نمی افتد. هر چقدر هم جستجو کنیم چیزی در دستمان قرار نمی گیرد. بنابراین در اینجا انتخابی در میان نیست. تنها، بودن یا نبودن عضوی در آنجا مطرح است. در جعبه دست میکنی و چیزی (همان هست که مأیوست نکند و دستت را خالی از جعبه بیرون نیاوری.(
گفت: موضوع این است که در زبان مرتبه اول که برای نمایش بخش بزرگی از ریاضیات مناسب است به لحاظ منطقی فرقی میان و کود نیست. هر دو میگویند «A تهی نیست»، یعنی هر دو را وقتی به یک زبان طبیعی مانند زبان فارسی بر می گردانیم به نظر می رسد که به این معنی است. اما مشکل اینست که اگر در یک مجموعه زندگی کنید بین متغیرهای X وY فرق می نهید، زیرا اگر این دو یکی بودند دیگر هیچ انسانی قادر نبود تفاوتی میان آنها قائل شود.
گفتم: ایرادتان مرا به یاد گفته ای از ویتگنشتاین می اندازد. او نیز معتقد بود اگر مدعی هستیم که زبانی صوری طراحی کرده ایم که از مشکلات زبان های طبیعی در امان است پس چه معنی دارد که هر بار به زبان طبیعی باز گردیم و بگوییم این جمله صوری در واقع فلان چیز را در زبان طبیعی می گوید؟ پس اصولا چه نیازی بود که فرگه و بعد راسل و وایتهد و دیگران اینهمه وقت صرف ساختن چنین زبانی کنند؟ گویی گریزی از این نیست که برای فهمیدن هر چیزی نهایتا آن را به زبان طبیعی باز گردانیم] ۵ .[
گفت: من نیز متوجه چنین مشکلی شده ام. در درک ریاضیات، زبان طبیعی به شدت دخالت می کند. هیچ ریاضیدانی، حتی منطقدان ترین آنها یعنی گودل، نمی تواند از زبان های طبیعی استفاده نکند، برای همین هم گودل در مقاله خود درباره گزاره های تصمیم ناپذیر در نظام پرینکیپیا ماتماتیکا» نوشت: جمله ی در واقع می گوید که) اثبات پذیر نیست(. چرا باید به ما یاد آوری کند که گزاره اش دارد چنین حرفی میزند اگر موضوع واضح است ]۸[؟ اما این دقیقا آن چیزی نبود که می خواستم در باره اش بحث کنم. بیایید با یکدیگر پیمان ببندیم که بر اصل انتخاب تمرکز کنیم و آن را بهتر بفهمیم.
نمی دانم چرا دلم شور می زد، با خود گفتم اگر آموزگار است پس چطور مقاله گودل را خوانده و به این چیزها فکر کرده است؟ اص؟ من چرا باید با این آدم عجیب و غریب که در این هوای خنک یک پیراهن پوشیده است و با سرعظیمش به طرف من ... دوباره رشته افکارم را پاره کرد. لبخند می زد و از همه عجیب تر برای خودش لیوانی چای ریخته بود و چشمانش دنبال قندان می گشت. قندان در زیر توده ای از کاغذهای کاهی پنهان شده بود در حالی که آن را بیرون می آوردم و کنار دستش می گذاشتم به بحث بازگشت.
گفت: نخست مشخص کنیم که چه فرقی بین انتخاب یک عضو از یک مجموعه که ممکن است بینهایت عضو هم داشته باشد با انتخاب بینهایت عضو از بینهایت مجموعه (از هر مجموعه یک عضو(وجود دارد؟ کمی قبل البته مشخص شد که انتخاب یک عضو از یک مجموعه اصولا انتخاب نیست. زیرا فرقی نمی کند که کدام عضو را، x یا y را، انتخاب کنید این را که می گفت لبخند عجیبی بر لبانش نشست، گویی می خواست بگوید اینجا نیز ناگزیریم از کلمه انتخاب استفاده کنیم، به سرعت افزود: اجازه دهید برای این حالت به جای انتخاب از واژه برداشت استفاده کنیم. مهم این است که عضوی آنجا هست و در عین حال مهم نیست که کدامیک. هر چه پیش آید خوش آید. وضع با مقوله مورد علاقه احتمال دانان هم فرق دارد. آنها در جعبه تعدادی گلوله های آبی، زرد و قرمز می ریزند و بعد از احتمال بیرون آمدن مهره زرد سؤال می کنند. درست است؟
گفتم: بله، برای احتمال دان موضوع مهم محاسبه احتمال وقوع یک پیشامد، مثلا زرد بودن مهره بیرون آمده از جعبه است. بدین معنی احتمال وجود عضوی در یک مجموعه ناتهی یک است. شاید وضع شبیه این است که جعبه ای مالامال از مهره های سفید رنگ باشد و بپرسیم احتمال بیرون آمدن مهر؛ سفید چقدر است؟ معلوم است که یک.
گفت: بسیار خوب. و اگر بخواهیم از دو یا سه یا بطور کلی تعداد متناهی مجموعه عضوهایی انتخاب کنیم از هر مجموعه یک عضو) وضع کم و بیش به همین نحو است. درست مانند حالت انتخاب یک عضو از یک مجموعه. بعد گویی که با خودش گفتگو می کند ادامه داد: گاه از خودم می پرسم آیا برداشت یک عضو از یک مجموعه با برداشت هم زمان میلیاردها عضو از میلیاردها مجموعه یکسان است؟ در عین حال احساس منطقی ریاضیدانان را نیز درک می کنم. سپس وضعیتی دیگر پیش می آید: فرض کنیم تعداد شمارایی مجموعه های غیر تهی مانند و ...، An ، ... داده شده باشند. می خواهیم از هر یک از مجموعه ها عضوی انتخاب کنیم. اگر از A1عضوX1، ازA2 عضو X2 و به همین ترتیب از مجموعه های بعدی به ترتیب و تک تک عضو انتخاب کنیم آیا خواهیم توانست نهایتا مجموعه را تشکیل دهیم یا خیر؟
گفتم: به نظر نمی رسد که بتوانیم به چنین هدفی نائل شویم. منظور من این است که به ازای هرn ، البته می توانیم Xn را داشته باشیم ولی همه Xn ها را با هم خیر. نمی دانم منظورتان را از تشکیل درست فهمیده ام؟ گفت: بله، کم و بیش. منظورم از تشکیل مجموعه در واقع یافتن خاصیتی است چون به نحوی که
. بدین ترتیب معتقدید که تشکیل دنباله ها به
چیزی بیش از این نیاز دارد؟
گفتم: کام. در آنجا شما یک تابع دارید: مثلا و تابع (هر تابعی) یکبار برای همیشه بر روی همه ی اعضای دامنه اش تعریف می شود. نه این که f نخست ۱ را به می برد و بعد ۲ را به
و الی آخر. خیر، از همان آغاز شما مقدارf را به ازای همه اعداد طبیعی می دانید.
گفت: بنابراین برای انتخاب یک عضو از بینهایت مجموعه نیاز به یک تابع داریم. انتخاب یعنی وجود یک تابع. تابعی که امکان انتخاب همزمان یک عضو از هریک از مجموعه ها را فراهم آورد. راستی عجیب نیست که در ریاضیات هم، زمان ولو به این شکل وارد می شود؟ اگر خانواده ای نامتناهی از مجموعه های غیر تهی باشد برای این که از هریک از ،Aiها عضوی انتخاب کنیم نیاز به یک تابع داریم. تابعی با دامنه I و برد . تابعی که برای تکمیل انتظاراتمان از آن باید داشته باشیم می دانیم که چنین تابعی را تابع انتخاب می نامند. چقدر از این دیدگاه همه چیز طبیعی به نظر می رسد. همه چیز سر جای خودش است.
گفتم: آری ولی از آنسو هم قضیه باناخ - تارسکی را داریم که از یک کره به کمک اصل انتخاب دو کره همنهشت با آن به دست می آورید. نتیجه ای که با شهود یا به عبارتی بهتر با عقل سلیم همخوانی ندارد. از سوی دیگر اگر آن را کنار گذاریم حلقه های واحدداری یافت خواهند شد که ایده آل ماکسیمال ندارند، فضاهای برداری بدون پایه خواهیم داشت، مجموعه های نامتناهی که فاقد زیرمجموعه های شمارا هستند که این یکی هم با عقل سلیم همخوانی ندارد و حاصل ضربی از فضاهای فشرده که فشرده نیستند و هزار و یک چیز بزرگ و کوچک. به قول خودتان پذیرفتنش مصیبتی است و نپذیرفتنش مشکل. در مورد وارد شدن مفهوم زمان هم باید بگویم که امری قابل صرف نظر کردن است. آنچه باید گفت وجود یک تابع انتخاب است. عبارت «هم زمان» به خاطر دخالت زبان بشری مطرح می شود.
نمی دانم سر بزرگش را به نشانه تأیید تکان داد یا حیرت. چند لحظه که به نظر چند ساعت آمد سکوت کرد. و ای کاش سکوت نمی کرد چون دوباره به من فرصتی داد تا در مغزم شروع به راه رفتن کنم. این واژه ای است که برای اندیشیدن بی نتیجه انتخاب کرده ام. شاید بهتر باشد تا از او درباره فلسفه افلاطون بپرسم، مثلا نظرش را درباره ممثل افلاطونی جویا شوم یا موضوع بحث را عوض کنم و راجع به فضیلت، دینداری، یا زیبایی بپرسم. کم کم داشتم به خود شجاعت می دادم که موضوع بحث را تغییر دهم که دیدم با دقت در حال نگریستن به من است.
گفت: می دانید، داشتم فکر می کردم که نیاز به اصل انتخاب از همان اول احساس می شود وگرنه چطور برای تابع پوشای وجود وارون راست را ثابت می کردیم: یعنی تابعی مانند که . برای همین نیز گاه از برتراند راسل تعجب می کنم که چرا به این اصل تا این حد بدبین بود. شاید حق با هاردی بود که می گفت اگر این اصل را کنار بگذاریم باید با بخش قابل توجهی از ریاضیات وداع کنیم. با این همه، انصافا صورتبندی راسل از این اصل، یعنی وجود مجموعه ای که از هریک از اعضای تنها یک عضو داشته باشد، صورتبندی روشنی است. صورتبندی راسل به وضوح نشان می دهد که اصل، یک حکم وجودی است. و همانطور که منطق دانان می گویند تصديق احکام وجودی، یعنی بحث از بود و نبود، کار منطق نیست [۱۲]. به همین دلیل هم راسل و وایتهد مجبور شدند نظريه مجموعه ها را به نظام صوری خود بیفزایند تا بتوانند ریاضیات را از آن استخراج کنند.
گفتم: به نظر من راسل به هر چه که دست می زد آن را از ابهام بدر می آورد. مثلا آن عبارت معروفش را درباره اصل انتخاب بیاد دارید؟ برای انتخاب یک جوراب از بینهایت جفت جوراب به اصل انتخاب نیاز است اما برای انتخاب یک چکمه از بینهایت جفت چکمه به اصل انتخاب نیازی نیست» [۴]، زیرا می توانید از هر جفت چکمه، لنگه چپ را انتخاب کنید. به هر حال فرقی بین لنگه های یک جفت چکمه وجود دارد. اما در مورد جوراب ها چنین فرقی وجود ندارد. جوراب ها را می توان لنگه به لنگه پوشید اما چکمه ها را نه. به نظر من همین کلید درک این نکته است که چه وقت از اصل انتخاب استفاده میکنیم و چه وقت نمی کنیم.
گفت: درست است. در غیاب یک قانونمندی ذاتی که برای انتخاب اعضا بدان تکیه کنیم به اصل انتخاب نیاز داریم اما در حضور چنین قانونمندی به اصل انتخاب نیازی نیست. در مثال راسل، می توانید جفتهای چپ یا راست را انتخاب کنید زیرا چپ و راست بودن بر کفشها حاکم است اما بر جورابها حاکم نیست. اگر شامل زیرمجموعه های ناتهی N باشد، برای انتخاب یک عضو از هر یک از اعضای بازهم به اصل انتخاب نیازی نیست زیرا همه آن مجموعه ها بنا به خاصیت خوشترتیبی اعداد طبیعی عضو ابتدا دارند و می توانیم به راحتی از هر یک از آنها عضو ابتدایشان را انتخاب کنیم. این کاری است که در مورد زیر مجموعه های ناتهی R نمی توان انجام داد. روشن نیست که چطور باید از هر یک از آنها عضوی انتخاب کرد. یا دیگر روشن نیست که به عبارتی چطور باید تابعی مناسب برای این منظور یافت، هیچ کس تاکنون تابعی مناسب برای این منظور نیافته است و استدلال های متقاعد کننده ای در نظریه مدل ها وجود دارند که هیچکس از این به بعد هم نخواهد توانست چنین تابعی بیابد (البته برای اثبات این موضوع باید تعریف دقیقی از «بافتن» ارائه کنم. بگذریم!). راستی ما مدتی است که از اصل انتخاب صحبت می کنیم بی آنکه آن را رسما تعریف کرده باشیم، هر چند بارها به آن اشاره کرده ایم: فرض کنید ردهای از مجموعه های ناتهی باشد. آنگاه میتوانیم عضوی از هر یک از مجموعه ها انتخاب کنیم. به عبارتی دیگر، تابعی چون وجود دارد با این ویژگی که برای هر S در این رده، عضوی از S می باشد. آیا با این تعریف به عنوان مبنایی برای ادامه بحث موافقید؟
گفتم: اصل انتخاب به شکل های مختلفی بیان شده است که البته همگی منطقا با یکدیگر معادلند. بله، چرا که نه، من نیز این صورتبندی را برای بحث کاملا مناسب می دانم. اما برگردیم به بحث، اگر به جای همه زیرمجموعه های R، را مجموعه همه بازه های با طول مثبت و متناهی در نظر بگیریم آنگاه برای هر می توان را نقطه میانی بازه S تعریف کرد. لذا با این که در اینجا نیز با زیر مجموعه های R (هر چند زیر مجموعه های ویژه ای از آن) سر و کار داریم به اصل انتخاب نیازی نیست. به راحتی می توانیم تابع انتخاب را تعریف کنیم.
گفت: برای همین نیز وقتی با خانواده های نامتناهی از گروهها یا حلقهها یا مدول ها سروکار داریم برای انتخاب عضوی از هر یک از آنها به این اصل نیازی نیست. کافی است عضو خنثی را از هر یک از آنها انتخاب کنیم. درست می گویم؟
گفتم: بله، لازم نیست برای غیر تهی بودن حاصل ضرب نامتناهی گروهها، حلقهها و مدولها به اصل انتخاب متوسل شویم. در مورد حلقه ها، اگر واحددار باشند، به غیر از عضو خنثای جمعی، می توان عضو خنثای ضربی آنها را نیز انتخاب کرد. اما برای اطمینان از ناتهی بودن حاصلضرب بینهایت نیمگروه به اصل انتخاب نیاز داریم. گفت: با این حال، گاه فکر جنون آمیزی به ذهنم خطور می کند. چطور عضو خنثی را در یک گروه از بقیه اعضا تمیز دهیم؟ با کدام محک می توانیم عضو خنثی را بیابیم؟ تنها می دانیم عضوی در G وجود دارد که از ترکیبش با هر عضو دیگر چیزی بجز همان عضو بدست نمی آید. آیا این کافی است تا در میان اعضای گروه به راحتی عضو خنثی را بیابیم؟ فکر نمی کنم که چنین بحثی به ریاضیات مربوط باشد، شاید به روانشناسی یا فلسفه مربوط باشد، ولی حداقل ابهامی است که برای من وجود دارد.
گفتم: بله، اما در مورد عضو خنثی نشان می دهیم که عضو خنثی در گروه منحصر بفرد است و همین اجازه می دهد به آسانی به آن ارجاع دهیم.
گفت: اما وارون هر عضو در گروه نیز منحصر بفرد است، چرا به آن ارجاع نمی دهید؟ اگر تنها منحصر بفرد بودن کافی است، باید بتوانید به وارون یک عضو هم به همان آسانی ارجاع دهید چرا که آن نیز منحصربه فرد است.
گفتم: در یک گروه برای هر عضو تنها یک وارون وجود دارد، اما عضو خنثی در سراسر گروه یکی است. گویی در گلهای اسب تنها یک اسب سفید باشد و بقیه گله قهوه ای باشند و سیاه. آیا آن اسب سفید در تمام گله منحصر به فرد نیست؟ ممکن است هر اسب قهوهای جفتی سیاه رنگ داشته باشد و آن را به راحتی در گله تشخیص دهد اما اگر شما بخواهید به اسبی سیاه در گله اشاره کنید خواهند پرسید کدام اسب سیاه ؟ اسب سیاه برای جفت قهوه ای رنگش منحصر به فرد است نه برای ما. ولی اسب سفید نزد ما نیز مشخص است. نظر شما چیست؟
گفت: چرا، چرا، درست میگویید. حرفم را پس میگیرم. اما این ملاحظات که فرمودید در ریاضیات هم لحاظ شده است؟ به نظر می رسید داشتید کمی فلسفه ورزی می کردید. همینطور به نظر می رسید که یافتن یک عضو در یک مجموعه (یادمان باشد که مفهوم مجموعه تعریف نشده است) از شخصی به شخص دیگر متفاوت است. اگر به جای شما این را که می گفت لبخند میزد) یکی از اسبان قهوهای به مجموعه اسبان بنگرد بی شک جفت خود را بر خواهد گزید نه اسب سفید رنگ را می دانم که اینگونه تأملات در ریاضیات محملی ندارند اما وقتی بخواهیم مفهوم انتخاب را نیک دریابیم به ذهن می رسند. دست خود آدم نیست. اندیشه ها می آیند و به اشتباه در ذهن من ماوا می گزینند، برای تشخیص ایرادشان تأکید مطلقی دارند بر بیرون آمدن. نمیدانم از کجا می آیند، یا این که ارزشی دارند یا نه، اما هر اندازه که ابلهانه یا مخاطره آمیز باشد، فکر نمی کنم حق داشته باشم از این عمل جلوگیری کنم]۲.[ برای همین نیاز شدیدی به گفتگو پیدا می کنم. گاه گفتگو به همان اندازه برای من حیاتی است که تنفس برای دیگران.
راست میگفت، دو موضوع بحث برانگیز درباره اصل انتخاب، «انتخاب» و «وجود» است.
میدانستم که طبق نظر ساختگرایان وجود داشتن ) به معنی ساختن است، لذا اصل انتخاب نادرست است چرا که ما نمی توانیم تابع انتخابی برای زیر مجموعه های غیر تهی R بسازیم. بعضی دیگر از ساختگرایان نیز وجود داشتن را به معنی «یافتن» می دانند و در این حالت نیز چون نمی توانیم تابع انتخابی بیابیم اصل نادرست است (نک توضیح.(
با این وجود، اغلب ریاضیدانان «وجود» را به معنی ضعیفتری در نظر میگیرند و اصل را درست
می دانند: کافی است تعریف کردن را به مثابه )انتخاب کردن عضوی از S( بدانیم. وقتی اصل را می پذیریم پیشاپیش با این قرارداد موافقت کرده ایم که به خودمان اجازه دهیم که از تابع انتخاب f در اثبات
