بخشی از مقاله
چکیده
رهیافت حالت هاي همدوس تعمیم یافته در چارچوب نظریه کوتنتش تغییر شکل توسط معادلهي -*ویژه مقداري بررسی شد. براي این هدف ما یک ضرب ستاره جدید معرفی کردیم که آن را ضرب – fستاره نامیدیم، به طوري که با استفاده از معادله -* fویژه مقداري آن میتوان طیف هامیلتونی عام یک سیستم تغییر شکل یافته را بدست آورد. در پایان رهیافت معر فی شده توسط چند مثال مورد تحقیق قرار گرفته است.
مقدمه
کوانتش، فرآیندي است که طی آن با شروع از یک سامانه کلاسیکی فضاي هیلبرت و مشاهدهپذیرهاي متناظر کوانتومی به دست میآید. در قرن گذشته روشهاي مختلفی براي انتسابسامانههاي کلاسیک به سامانههاي نظیر کوانتومی آنها توسعه یافته است که "کوانتش تغییر شکل" یکی از مهمترین این روشهااست 1]و.[2 دلیل این نام گذاري آن است که در این فرآیند، عمل ضربجابهجا پذیر بین مشاهده پذیرهاي کلاسیکی، با عمل ضرب ناجابهچایی جايگزین میشود.از آنجایی که حالتهاي همدوس به عنوان نزدیکترینهايحالت کوانتومی به حالتهاي کلاسیکی تعبیر روشمیشوند [3] درکوانتش برزین [5] - که در واقع نوعی کوانتش تغییر شکل است - نقش مهمی ایفا میکنند، و در روش کوانتشموردهندسی[4] نیزاستفادهگیرندقرارمیگیرد.
به دلیل ویژگیهاي متعدد، حالتهاي همدوس در يهمه حوزههاي فیزیک مورد استفاده قرارگرفتهاند و بههايروشمختلفی تعمیم یافتهاند که از آن جملهاند حالتهاي همدوسیکهبراي توصیف جنبههاي مختلف سامانههاي غیرخطی روندبهکار می.[6] این حالتها داراي ویژگیهاي غیر کلاسیکیاند .[7] در اینمقاله چگونگی به کارگیري این حالتها در نظریهي کوانتش تغییر شکل بیان میشود. با استفاده از حالتهاي همدوس غیر خطی شکل جدیدي از ضرب ستاره در نظریهي کوانتش تغییر شکلمعرفی خواهد شد که از طریق آن میتوان طیف انرژي هامیلتونیکوانتومی نظیر سامانهکلاسیکيغیرخطی را محاسبه کرد.ضرب ستاره ي تغییر شکل یافته روش بدیلی براي توصیف سامانههاي کوانتومی روي فضاي فازوجود دارد که توسط ویگنر ارائه شده است.در این روش حالتهاي کوانتومی با توابع توزیع روي فضايگزینفاز جاي میشوند و به نوعی مکانیک کوانتومی روي فضاي فازصورتبندي می شود. میتوان ثابت کرد که رابطهي ویژه مقداري زیر براي تابع ویگنر برقراراست :[8]
که در آن H هامیلتونی سامانهي کلاسیک،توزیع W - q,p - تابع ویگنر و E ویژه مقداريکوانرژيتومی براي سامانه است.این معادله را "معادلهي ویژه مقداري ستاره" مینامندطوروهمانکه مشخص است توابع فضاي فاز توسط ضرب جدیدي به نام ضرب مویال با یکدیگر ترکیب میشوندصورت.ضرب مویال به زیر تعریف میشود [9]،براي نمونه هامیلتونی نوسانگر تعمیم یافته - مثلا یک نوسانگر غیرخطی - که با با رابطهي زیر برحسب توابع فضاي فاز مشخص میشودرا در نظر میگیریم:
که در آن q2 p2 n و A یک تابع مختلط برحسب مکان و تکانه است. طیف انرژي این هامیلتونی از عبارت فوق مشخص است.در این مقاله هدف آن است که با معرفی یک ضرب ستارهي جدید، که جبر مشاهده پذیرهاي سامانهي مورد نظر و طیف انرژي آن را ناوردا باقی نگه میدارد، و بکارگیري آن در معادلهویژهي مقداري ستاره بتوانیم طیف انرژي هر سامانه تغییرشکلرا یافتهايبدست آوریم. بدین منظور »ضرب ستاره تغییر شکل یافته« را به صورت زیر تعریف میکنیم:
که در آن - n+1 - f² - n+1 - -nf² - n - F - n - است. ترکیب مشاهده پذیرها با این ضرب موجب خواهد شد که جبر رابطهي - ٢ - و طیف انرژي سامانه تغییري نکند. براي آنکه ضرب ستاره خوش تعریف باشد باید شرایط زیر را برآورده نماید ]١٠[در مورد ویژگی 4 این نکته مورد اهمیت است که برايهايضرب ستارهاي که کمیت ضرب شده در مشتقات توابعی از مختصات فضاي فاز باشد، مانند F - n - در ضرب معرفی شدهي بالا، نشان داده شده است که ویژگی شرکتپذیري حداقلاولتا مرتبهي ثابت پلانک برقرار است .[11] در ساختار جدید معرفی شده،معادله ویژه مقداري به صورت زیر خواهد بودبا توجه به آنکه ضرب ستارهي معرفی شده در رابطهي - 6 - ، تا مرتبهي اول ثابت پلانک شرکتپذیر است، در این رابطه نیز ضرب ستارهي جدید تا این مرتبه اول نگه داشته شده استهايازتوان
بالاتر چشم پوشیشود می . در رابطهي فوق Wf - q,p - تابع ویگنر حالتهاي همدوس غیرخطی است. براي یک حالت همدوس غیرخطی تابع ویگنر به صورت زیر تعریفشود می :[6]
نکته قابل توجه آن است که از تعریف تابع ویگنر فقط عبارتهاي n m در معادلهي ویژه مقداري ستاره صدق میلذاکنند .[8]تابع ویگنري که در معادله ي - 8 - صدق میکند به صورت زیراست:
در معادلات - 9 - و . در رابطهي - 8 - ، E طیف انرژي سامانهي مورد نظر است که با استفاده از تابع ویگنر جدید و ضرب ستارهي تغییر شکل یافته آن را بهآوریمدست میگیرد.
مثال هاي فیزیکی
در این بخش ضرب تغییر شکل یافته معرفی شده را براي چندسامانهي مشخص به کار میبریم. با تعیین تابع تغییرشکل f - n - میتوان طیف انرژي سامانه را به دست آورد.
-نوسانگر q
به عنوان اولین مثال به نوسانگرهاي q میپردازیم که یکی از عامترین حالتهاي همدوس غیرخطی شناخته شده هستند. تابعتغییر شکل این سیستم به شکل زیر معرفی شده است 6] و:[12
